最全线性规划题型总结

WORD格式.可编辑技术资料分享线性规划题型总结1.“截距”型考题在线性约束条件下，求形如(,)zaxbyabR的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y轴上的截距的取值.结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1．（2017•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1C．D．3答案：D解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．2．（2017•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为．答案：﹣1．解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，WORD格式.可编辑技术资料分享即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．3．（2017•浙江）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）答案：D．解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．4．（2016•河南二模）已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10B．8C．6D．3答案：C．解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时，z取得最大值，此时z最大．即A（﹣2，﹣2），代入目标函数z=|x+2y|得z=2×2+2=6。5．（2016•湖南模拟）设变量x、y满足约束条件，则z=32x﹣y的最大值为（）A．B．C．3D．9WORD格式.可编辑技术资料分享答案：D．解：约束条件对应的平面区域如图：令2x﹣y=t，变形得y=2x﹣t，根据t的几何意义，由约束条件知t过A时在y轴的截距最大，使t最小，由得到交点A（，）所以t最小为；过C时直线y=2x﹣t在y轴截距最小，t最大，由解得C（1，0），所以t的最大值为2×1﹣0=2，所以，故。2.“距离”型考题在线性约束条件下，求形如z=（x-a）2+（y-b）2的线性目标函数的最值问题，通常转化为求点（a，b）到阴影部分的某个点的距离的平方的取值.6．（2016•山东）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4B．9C．10D．12答案：C．解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．7．（2016•浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（）A．2B．4C．3D．6答案：C解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，WORD格式.可编辑技术资料分享而R′Q′=RQ，由得，即Q（﹣1，1），由得，即R（2，﹣2），则|AB|=|QR|===3，8．（2016•安徽模拟）如果实数x，y满足，则z=x2+y2﹣2x的最小值是（）A．3B．C．4D．答案：B．解：由z=x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，设m=（x﹣1）2+y2，则m的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知D到AC的距离为最小值，此时d==，则m=d2=（）2=，则z=m﹣1=﹣1=。3.“斜率”型考题在线性约束条件下，求形如z=axby的线性目标函数的最值问题，通常转化为求过点（a，b）阴影部分的某个点的直线斜率的取值.9．（2016•唐山一模）若x，y满足不等式组，则的最大值是（）A．B．1C．2D．3答案：C解：由题意作平面区域如下，的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，结合图象可知，过点A（1，2）时有最大值，此时==2，WORD格式.可编辑技术资料分享10．（2016•莱芜一模）已知x，y满足约束条件，则z=的范围是（）A．[，2]B．B[﹣，]C．[，]D．[，]答案：C解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，2），由，解得B（3，1），而z=的几何意义表示过平面区域内的点与（﹣1，﹣1）的直线的斜率，显然直线AC斜率最大，直线BC斜率最小，KAC==，KBC==．11．（2016•衡阳二模）已知变量x，y满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．答案：[，]解：作出满足所对应的区域（如图阴影），WORD格式.可编辑技术资料分享变形目标函数可得==1+，表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=．4.“平面区域的面积”型考题12．设平面点集A＝{(x，y)|(y－x)(y－1x)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为()A．3π4B．3π5C．4π7D．π2答案：D解：不等式(y－x)(y－1x)≥0可化为0,10yxyx或0,10.yxyx集合B表示圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A∩B所表示的平面区域如图阴影部所示．由线1yx，圆(x－1)2＋(y－1)2＝1均关于直线y＝x对称，所以阴影部分占圆面积的一半，故选D项．5.“求约束条件中的参数”型考题规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.13．（2016兴安盟一模）若x，y满足不等式组，且y+x的最大值为2，则实数m的值为（）A．﹣2B．C．1D．答案：D解：∵y+x的最大值为2，∴此时满足y+x=2，作出不等式组对应的平面区域如图：则由，解得，即A（1，），同时A也在直线y=mx上，WORD格式.可编辑技术资料分享则m=，14．（2016•绍兴一模）若存在实数x，y满足，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，）答案：D解：作出所对应的区域（如图△ABC即内部，不包括边界），直线m（x+1）﹣y=0，可化为y=m（x+1），过定点D（﹣1，0），斜率为m，存在实数x，y满足，则直线需与区域有公共点，，解得B（，），，解得A（，）KPA==，KPB==，∴＜m＜．6.“求目标函数中的参数”型考题规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论与研究.15．（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3B．2C．﹣2D．﹣3答案：B解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），WORD格式.可编辑技术资料分享若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=216．（2016•扶沟县一模）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则ab的最大值为（）A．1B．C．D．答案：C解：满足约束条件的可行域如下图所示：∵目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）故zA=2a+2b，zB=2a+3b，由目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则2a+2b=2，即a+b=1则ab≤=故ab的最大值为7.其它型考题17.（2016•四川）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件.18．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现WORD格式.可编辑技术资料分享有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．解：（1）设甲、乙两种产品每件分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．答案为：216000．19．（2016•天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润．解：（1）x，y满足的条件关系式为：．作出平面区域如图所示：（2）设利润为z万元，则z=2x+3y．∴y=﹣x+．∴当直线y=﹣x+经过点B时，截距最大，即z最大．解方程组得B（20，24）．∴z的最大值为2×20+3×24=112．答：当生产甲种肥料20吨，乙种肥料24吨时，利润最大，最大利润为112万元．