2015新北师大版数学九年级上册第一章知识点总结与例题

1数学九年级上册知识点总结（一）第一章特殊的平行四边形复习中考考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用2.相关知识的综合应用知识点归纳：图形特点矩形菱形正方形性质边角对角线判定对称性知识回顾：2（回到九年级上册）一.菱形（一）相关知识：◇菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．◇菱形的性质：具有平行四边形的所以性质。还有以下个性：性质1菱形的都相等；性质2菱形的对角线互相，并且每条对角线平分一组对角；菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。◇菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．（二）例题精选：例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．例3（2011四川自贡）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想例4（2011山东烟台）如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.3二．矩形（一）相关知识：□1.矩形定义：有个一角是直角的平行四边形叫做矩形．（请标注出：课本第页）【强调】（1）矩形是特殊的平行四边形；（2）有一个角是直角．□2.矩形的性质：具有平行四边形的所以性质。还有以下个性：性质1矩形的四个角都是；性质2矩形的对角线。矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形。□3.矩形的判定：矩形判定方法1:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（定义法）矩形判定方法2:对角线的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法3:都是直角的四边形是矩形．□4.推论：直角三角形斜边上的线等于斜边的一半。（二）例题精选：例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角线互相平分；B.四条边都相等；C.对角相等；D.邻角互补例3：已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H。求证：四边形EFGH是矩形．三．正方形（一）相关知识：■1.正方形的定义：有一组相等，并且有一个的平行四边形叫做正方形。•注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一组邻边相等；（3）有一个角是直角．强调：正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形（菱形），②有一个角是直角的平行四边形（矩形）。说明：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形．■2.正方形的性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质：边：两组对边平行且相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．■3.正方形的判定方法：•(1)有一组邻边的矩形是正方形；•(2)对角线互相的矩形是正方形；4•(3)有一个角是的菱形是正方形；•(4)对角线的菱形是正方形.注意：要确定一个四边形是正方形，应先确定它是矩形或是菱形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.（二）例题精选：例1：已知矩形ABCD四个内角平分线组成四边形MFNE，求证：四边形MFNE是正方形．例2：（2015春•宜阳县期末）如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF，求证：CE=DF．例3：已知正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD的中点，求证：AE⊥BF．例4：如图，在正方形ABCD中，E，F是BD上的两点，且BE=DF．求证：四边形AECF是菱形．例5：如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．求证：AE-BE=DF．例6：已知，如图，ABCD中，DE⊥AG于E，BF∥DE，：AF-BF=EF．5四．特殊四边形之间的关系：五．梯形相关知识1.梯形的定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。2.等腰梯形定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。3.直角梯形定义：一条腰和底边垂直梯形叫做直角梯形。4.等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。5.等腰梯形的判定：同一同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。六．其他1.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。2.夹在两条平行线间的平行线段相等。3.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。附，表格答案参考：