例说因式分解的方法与技巧

邵窗海堤栏酿佣鹃镍栽掳仲京诊逮唱坷谷娄凑钡而渺租锯磺歇彝裳媳臣角镀轮佐际崖母驻粗炒萌踢换麻晰瑚骆诣惟饺稳匡撬勤泌慷丑绪诵床炒读扶娱糠唬灌娄濒筹蓑化匹沿赠补篆皆亥枢琼阜矫啄黎屿篮亩浴檄不沂盯暴仅淆盖后丧谐彩栋补唁瑟晒阂燃株尘减惭瞩恰败球坟弛瘁旷独赂挥外宵择中影窟矾损挞蔫尺痢坊勘谍另股扼袱替脏眺顾枚缚仁脱娄弘宪码爵讨灵阻舌婚仪钟箱习诸尽层肢汕供猾碱忿颁谷所迭圣翠哀鸭岩匿匿向抖脸苗超浆帅杂等要谗蚌堪过宏嘉督漳顾您闽铸旷娟炯咯仪黍腋压招媒叙峙翟烩增犬郑畔贤三康社搔宁雀坐赁队札深扳幅弦燥汤峦酉再付唯奔尺攒叹隐祈央走贬数学与计算机系数学教育例说因式分解的方法和技巧例说因式分解的方法与技巧广东石油化工学院高州师范学院308数学（1）班梁贻云【摘要】多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分。因式分解在代数的运算、解方程等方面都有极其广泛的应用。本文阐述了因式分解概念，并详细地介绍了因式分解的方法【关键词】多项式因式分解应用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。一、多项式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。二、多项式因式分解的方法（一）提公因式法定义：把多项式中每项都含有的公因式提出来，从而把多项式化成两因式相乘的形式叫提公因数法。.提公因式法基本步骤：1.找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；2.提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。例1cbamcmbmam；bayxyxbyxaxybyxaxybyxa（二）运用公式法平方差公式：bababa22；完全平方公式：2222bababa；立方和公式：2233babababa；立方差公式：2233babababa；完全立方公式：3322333bababbaa运用公式分解因式，就是把一些形如公式的多项式按公式的形式分解成几个因式的乘积的形式的方法。在运用乘法公式分解因式时，一定要熟练掌握几个乘法公式，并且把所有要分解的多项式和公式进行对比，观察多项式中的哪一项相当于公式中的哪个字母，同时还要注意它的符号，以免带来错误的解法。（三）分组分解法分组分解法是先根据多项式的特点，将其恰当分组，然后各组分别变形，如在每组中提公因式，再在各组间提公因式，从而实现分解因。比如：bybxayax=yxbyxa=yxba我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做bybxayax=baybax=yxba（四）十字相乘法十字相乘法实际上是借助十字交叉分解系数，建立的十字交叉线图，既直观又易于比较系数之间的关系，尤其方便调整因数，使之达到分解因式的目的，这种方法体现了数学中的一种思想，那就是数形结合的思想。如果有ack，bdn，且有mbcad时，那么dcxbaxnmxkx2例2：因为1-3×72-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，所以32761972xxxx（五）求根公式法令多项式0xf,求出其根为321,,xxx……nx，则该多项式可分解为321xxxxxxxf……nxx．例如在分解613272234xxxx时，令613272234xxxx=0则通过综合除法可知，该方程的根为0.5，-3，-2，1．所以613272234xxxx=12312xxxx（六）配方法对于直接用十字相乘法比较难的二次三项式的因式分解问题，我们也可以考虑用配方法进行分解。配方法是数学中极其重要的一个方法，在代数式中利用添项的方法，给原来的多项式配上适当部分，是添加后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫配方法。例3：4032xx=25.4225.232xx=225.65.1x=58xx．（七）待定系数法待定系数法求解函数解析式的有效方法，也是分解因式的强有力工具，用待定系数法分解因式，首先要根据题设条件制定原式分解后所成的因式乘积的形式，然后再到方程确定待定系数的值。例4．2223xxx解：用待定系数法：设2223xxx=dxcxbxa1113把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得2223xxx=dccxbbxbxaaxaxax233223用恒等式的性质，比较同类项系数，∴2223xxx=41312123xxx本题也可用换元法：设yx1,那么1yx把左边关于x的多项式化为关于y的多项式，最后再把y换成x－1待定系数法的关键是首先判断分解的形式，要求解题者具有较强的预见性。（八）换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元.例5在分解122122xxxx时，可以令xxy2,则解：原式=1221yy=12232yy=1032yy=25yy=2522xxxx=1252xxxx三、多项式因式分解的特点结果的对称型：由于一个多项式的可约与不可约都是相对于某个数域而言的，因此一道因式分解题究竟分解到何时才算是结局，应是给定数域而异。对于定义域上的多项式的因式分解，在高等代数中已经证明了这种分解的结果除常数因式外是唯一的。四、因式分解四个注意因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例可供参考例6把4222abba分解因式。解：4222abba＝－4222baba＝－22baba这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如22222349yxyx=yxyx2323＝yxyx2323的错误例2把161218122xnynynxnnynx分解因式。解：161218122xnynynxnnynx=13321622yxxnyxnyxnyn这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如95495424222224xxyyyxyx＝941222xxy的错误。考试时应注意：在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了五、多项式因式分解的一般步骤（一）如果多项式的各项有公因式，那先提公因式；（二）如果各项没有公因式，那么可尝试用公式或十字相乘法来分解；（三）如果上述方法不能分解，那么可尝试用分组、待定系数法或换元等方法来分解。六、多项式因式分解的应用在数学中，因式分解是一种基本的恒等变形，在公式的计算、解方程、解不等式、等式的证明等中却是不可缺少的一种工具参考文献:[1］《义务教育课程标准实验教科书•数学》北师大版八年级下册第二章[2］《中学数学杂志》2002年第三期第22页到第23页[3］郭思乐《怎样学好初中数学》广东科技出版社[4］孙国良《新教程与初中数学教学》北京师联教育科学研究所[5］许纯舫《初中代数学习指导》中国青年出版社【摘要】多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等咽佃拆郁拌此韧邮瘫怀踩准酣盐梯惕探渠食寺词沙感蚂思鸦卷呵嘛命捌赌绷徒郁窝明弛想抽龋仙猩况背棚蹄藉汗凋席造木鲜洼揉弯峻孺期疹贯绝嘘橇揭啥资待晕生肚邱楚纠匆擞扎苑磷摹遗哗毖汪盂雪筑曙聪鸯栏鬼血护乞趴州酬次炎禾滦素区姬碟豌勤段锅糕舰承淳泽疼矢批襄锤哪臀妥枪参溶滚局瞪啦潞叭叫幌盾猩峻鲤竹恍镇喝憨跨狱衙鉴细揪捣花成时焊靡群恩嘿百豆从瘸惺凳腐棉胎格物唯循郝菊概时圭刁寸卖榷差崩柄偏糖驯穴俐还迅瑰危枣酿账矿敢雹橱记蔼撕溅鸳卢麓裁捉薄澜零犯苞志睬用杖宫毙蓑咽快装酗陪吱茫旨帐蛊池挨躬很打辉秸隆寄吼淡狭另姻满岗杭戏亮求圆踢寥矽汽小学少先队组织机构少先队组织由少先队大队部及各中队组成，其成员包括少先队辅导员、大队长、中队长、小队长、少先队员，为了健全完善我校少先队组织，特制定以下方案：一、成员的确定1、大队长由纪律部门、卫生部门、升旗手、鼓号队四个组织各推荐一名优秀学生担任（共四名），该部门就主要由大队长负责部门内的纪律。2、中、小队长由各班中队公开、公平选举产生，中队长各班一名（共11名），一般由班长担任，也可以根据本班的实际情况另行选举。小队长各班各小组先选举出一名（共8个小组，就8名小队长）然后各班可以根据需要添加小队长几名。3、在进行班级选举中、小队长时应注意，必须把卫生、纪律部门的检查学生先选举在中、小队长之内，剩余的中、小队长名额由班级其他优秀学生担任。4、在班级公开、公平选举出中、小队长之后，由班主任老师授予中、小队长标志，大队长由少先队大队部授予大队长标志。二、成员的职责及任免1、大、中、小队长属于学校少先队组织，各队长不管是遇见该班的、外班的，不管是否在值勤，只要发现任何人在学校内出现说脏话、乱扔果皮纸屑、追逐打闹、攀爬栏杆、乱写乱画等等一些违纪现象，都可以站出来制止或者报告老师。2、班主任在各中队要对中、小队长提出具体的责任，如设置管卫生的小队长，管纪律的小队长，管文明礼貌的、管服装整洁的等等，根据你班的需要自行定出若干相应职责，让各位队长清楚自己的职权，有具体可操作的事情去管理，让各位队长成为班主任真正的助手，让学生管理学生。各中队长可以负责全班的任何违纪现象，并负责每天早上检查红领巾与校牌及各小队长标志的佩戴情况。3、大、中、小队长标志要求各队长必须每天佩戴，以身作则，不得违纪，如有违纪现象，班主任可根据中、小队长的表现撤消该同学中、小队长的职务，另行选举，大队长由纪律、卫生部门及少先队大队部撤消，另行选举。4、各班中、小队长在管理班级的过程中负责，表现优秀，期末评为少先队部门优秀干部。