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当前位置:首页 > 中学教育 > 初中教育 > 相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案
..拔高相似三角形习题集适合人群:老师备课,以及优秀同学拔高使用。一、基础知识(不局限于此)(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段;2.比例性质:(1)基本性质:bcaddcbaacbcbba2(2)合比定理:ddcbbadcba(3)等比定理:)0.(ndbbandbmcanmdcba3.黄金分割:如图,若ABPBPA2,则点P为线段AB的黄金分割点.4.平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。4.相似三角形的性质(1)对应边的比相等,对应角相等.(2)相似三角形的周长比等于相似比.(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方.(4)相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。6.梯形的中位线定义:梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质:梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:1、利用三角形相似,可证明角相等;线段成比例(或等积式);2、利用三角形相似,求线段的长等3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。(三)位似:位位似似::如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位位似似性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比二、经典例题例1.如图在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上.BAP..(1)填空:∠ABC=______,BC=_______.(2)判定△ABC与△DEF是否相似?[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.[参考答案]①135°,22②能判断△ABC与△DEF相似,∵∠ABC=∠DEF=135°,ABBCDEEF=2【点评】注意从图中提取有效信息,再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断.例2.如图所示,D、E两点分别在△ABC两条边上,且DE与BC不平行,请填上一个你认为适合的条件_________,使得△ADE∽△ABC.[考点透视]本例主要是考查相似的判定[参考答案]∠1=∠B或∠2=∠C,或ADAEABAC点评:结合判定方法补充条件.例3.如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走2米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A的高度等于()A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米[考点透视]本例主要是考查相似的应用[参考答案]B例4.如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用[参考答案]48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形(或矩形)的计算问题,一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答.例5.如图所示,在△ABC中,AB=AC=1,点D、E在直线BC上运动,设BD=x,CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数关系式;(2)如果∠BAC的度数为α,∠DAE的度数为β,当α、β满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数关系式还成立,试说明理由.[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.[参考答案]解:在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=30°,∠ABC=∠ACB=75°,∠ABD=∠ACE=105°.又∠DAE=105°,∴∠DAB+∠CAE=75°.又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB∽△EAC,∴1,1ABBDxECACy即,∴y=1x.当α1β满足β-2=90°,y=1x仍成立.此时∠DAB+∠CAE=β-α,∴∠DAB+∠ADB=β-α,∴∠CAE=∠ADB.又∵∠ABD=∠ACE,∴△ADB∽△EAC,∴y=1x.【点评】确定两线段间的函数关系,可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系.例6.一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为:3.5cm×3.5cm,放映的荧屏的规格为2m×2m,若放映机的光源距胶片20cm时,问荧屏应拉在离镜头多远的地方,放映的图象刚好布满整个荧屏?解析:胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的,镜头就相当于位似中心,因此本题可以转化为位似问题解答...[考点透视]本例主要是考查位似的性质.[参考答案]807m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形,因此位似图形具有相似图形的所有性质.三.适时训练(一)精心选一选1.梯形两底分别为m、n,过梯形的对角线的交点,引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为()(A)mnnm(B)nmmn2(C)nmmn(D)mnnm22.如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且ACAD=31,AE=BE,则()(A)△AED∽△BED(B)△AED∽△CBD(C)△AED∽△ABD(D)△BAD∽△BCD题2题4题53.P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线共有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条4.如图,∠ABD=∠ACD,图中相似三角形的对数是()(A)2(B)3(C)4(D)55.如图,ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件中,不能推出△ABP与△ECP相似的是()(A)∠APB=∠EPC(B)∠APE=90°(C)P是BC的中点(D)BP︰BC=2︰36.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,且有下列条件:(1)∠B+∠DAC=90°;(2)∠B=∠DAC;(3)ADCD=ABAC;(4)AB2=BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有()(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个题6题7题87.如图,将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连结EF交AB于H,则下列结论中错误的是()(A)AE⊥AF(B)EF︰AF=2︰1(C)AF2=FH·FE(D)FB︰FC=HB︰EC8.如图,在矩形ABCD中,点E是AD上任意一点,则有()(A)△ABE的周长+△CDE的周长=△BCE的周长(B)△ABE的面积+△CDE的面积=△BCE的面积(C)△ABE∽△DEC(D)△ABE∽△EBC9.如图,在□ABCD中,E为AD上一点,DE︰CE=2︰3,连结AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,..则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于()(A)4︰10︰25(B)4︰9︰25(C)2︰3︰5(D)2︰5︰25题9题10题1110.如图,直线a∥b,AF︰FB=3︰5,BC︰CD=3︰1,则AE︰EC为().(A)5︰12(B)9︰5(C)12︰5(D)3︰211.如图,在△ABC中,M是AC边中点,E是AB上一点,且AE=41AB,连结EM并延长,交BC的延长线于D,此时BC︰CD为()(A)2︰1(B)3︰2(C)3︰1(D)5︰212.如图,矩形纸片ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为()(A)4cm、10cm(B)5cm、10cm(C)4cm、23cm(D)5cm、23cm题12(二)细心填一填13.已知线段a=6cm,b=2cm,则a、b、a+b的第四比例项是_____cm,a+b与a-b的比例中项是_____cm.14.若cba=acb=bca=-m2,则m=______.15.如图,在△ABC中,AB=AC=27,D在AC上,且BD=BC=18,DE∥BC交AB于E,则DE=_______.16.如图,□ABCD中,E是AB中点,F在AD上,且AF=21FD,EF交AC于G,则AG︰AC=______.题16题17题1817.如图,AB∥CD,图中共有____对相似三角形.18.如图,已知△ABC,P是AB上一点,连结CP,要使△ACP∽△ABC,只需添加条件______(只要写出一种合适的条件).19.如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC,EF∥BC,AB=15,AF=4,则DE的长等于________...题19题20题2120.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,AE=EC,AD=18,BE=15,则△ABC的面积是______.21.如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=8,BC=10,则梯形ABCD面积是_________.22.如图,已知AD∥EF∥BC,且AE=2EB,AD=8cm,AD=8cm,BC=14cm,则S梯形AEFD︰S梯形BCFE=____________.(三)认真答一答23.方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请你在图示的10×10的方格纸中,画出两个相似但不全等的格点三角形,并加以证明(要求所画三角形是钝角三角形,并标明相应字母).24.如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E为BC中点,延长AC、DE相交于点F,求证BCAC=DFAF.25.如图,在△ABC中,AB=AC,延长BC至D,使得CD=BC,CE⊥BD交AD于E,连结BE交AC..于F,求证AF=FC.26.已知:如图,F是四边形ABCD对角线AC上一点,EF∥BC,FG∥AD.求证:ABAE+CDCG=1.27.如图,BD、CE分别是△ABC的两边上的高,过D作DG⊥BC于G,分别交CE及BA的延长线于F、H,求证:(1)DG2=BG·CG;(2)BG·CG=GF·GH.28.如图,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b.(1)当BD与a、b之间满足怎样的关系时,△ABC∽△CDB?(2)过A作BD的垂线,与DB的延长线交于点E,若△ABC∽△CDB.求证四边形AEDC为矩形(自己完成图形).29.如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE)...(1)△AEF与△EFC是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由;(2)设BCAB=k,是否存在这样的k值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出k的值;若不存在,说明理由.30.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,CA=8cm,动点P从点C出发,以每秒2cm的速度沿CA、AB运动到点B,则从C点出发多少秒时,可使S△BCP=41S△ABC?31.如图,小华家(点A处)和公路(L)之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌(DE).广告牌挡住了小华的视线,请在图中画出视点A的盲区,并将盲区内的那段公路设为BC.一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s,已知广告牌和公路的距离是40m,求小华家到公路的距离(精确到1m).32.某老师上完“三角形相似的判定”后,出了如下一道思考题:如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于O,试问:△AOB和△DOC是否相似?某学生对上题作如下解答:答:△AOB∽△DOC.理由如下:在△AOB和△DOC中,∵AD∥BC,∴AODOOCOB,∵∠
本文标题:相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案
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