复旦版工程数学之概率统计课件第9讲

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0例1有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}即B=A1B+A2B+A3B，且A1B、A2B、A3B两两互斥B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得123将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(｜代入数据计算得：P(B)=8/15设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,…,n,另有一事件B,它总是与A1,A2,…,An之一同时发生，则niiiABPAPBP1)()()(｜全概率公式:设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i=1,2,…,n,niiiABPAPBP1)()()(｜全概率公式:称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.,1SAnii则对任一事件B，有在一些教科书中，常将全概率公式叙述为：在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.niiiABPAPBP1)()()(｜全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解请看演示全概率公式应用演示由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸Ai是原因B是结果例2甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.设B={飞机被击落}Ai={飞机被i人击中},i=1,2,3由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)则B=A1B+A2B+A3B求解如下:依题意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1可求得:为求P(Ai),设Hi={飞机被第i人击中},i=1,2,3)()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAP将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白?某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.)()()|(11BPBAPBAP记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}求P(A1|B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(｜运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(｜｜该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式：设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,…,n,另有一事件B，它总是与A1,A2,…,An之一同时发生，则ni,,,21贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.例3某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.CCC已知P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:设C={抽查的人患有癌症}，A={试验结果是阳性}，求P(C|A).现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得)|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得:P(C｜A)=0.10662.检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率P(C)=0.005患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P(C｜A)=0.1066说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？2.检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为P(C｜A)=0.1066即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式njiiiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(｜｜贝叶斯公式在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。在不了解案情细节(事件B)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.甲乙丙P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情细节后,这个估计就有了变化.P(A1|B)知道B发生后P(A2|B)P(A3|B)最大偏小这一讲我们介绍了全概率公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们.值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.