2015年上海财经大学数理统计考试题库(亲测期中考试从中选取了原题)

试卷A一、填空题（总共5题，每题2分）1.称统计量为参数ˆ的估计量，如果)(E=。2.设总体2~(,)XN，假设要以95%的概率保证偏差0.1X，且21，则样本容量n至少应取3.已知总体nXXXNX,,,),,(~212是来自总体X的样本，要检验202：oH，则采用的统计量是。4.设总体X的概率密度为;,0,,)()(xxexfx若若；而nXXX,,,21是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为。5.若nXXXNX,,,),,(~2121是来自总体X的样本，2,SX分别为样本均值和样本方差，则SnX)(~。二、判断题（总共5题，每题2分）1.设ˆ是参数的无偏估计，且0)ˆ(D，则22ˆ必是的有偏估计。2.设总体2~(2,4)XN，12,,nXXX为取自X的样本，则2~(0,1)4XN。3.检验假设0H时，显著性水平越大，接受0H的可能性就越大。4.在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为第一类错误。5.是常数21ˆ,ˆ的两个无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21DD，则称2ˆ比1ˆ有效。三、计算题（总共6题，每题10分）1.（1）求泊松分布中的MLE（2）求当0=已知时，正态分布中2的MLE2.设X为一个总体，EX，2()DX，1ˆ和2ˆ都是的无偏估计且独立，212ˆˆ2()3()DD（1）当1122ˆˆˆ=23cc也是的无偏估计时，12,cc应满足什么条件？（2）1c和2c取何值时，ˆ具有最小方差？3.已知某批铜丝的抗拉强度X服从正态分布2(,)N。从中随机抽取9根，经计算得其标准差为8.069。求2的置信度为0.95的置信区间。（22220.0250.9750.0250.975(9)19.023,(9)2.7(8)17.535,(8)2.180已知：，）4.设（12100,,,XXX）是来自正态总体X的简单随机样本，且2~(,)XN1020100121011191111101010iiiiiiYXYXYX，，，令2222143109[()()()]WaYYYYYY试选取合适的a，使得W服从2分布，并且指出所服从2分布的自由度。5.某手表厂生产的男表表壳在正常情况下，其直径(单位:mm)服从正态分布N(20,1)。在某天的生产过程中，随机抽查4只表壳，测得直径分别为:19.519.820.020.5.问在0.05显著性水平下，这天生产的表壳的均值是否正常?0.9750.9750.975((4)=2.776,(3)=3.182,1.960)ttU已知：6.测定家庭中的空气污染。令X和Y分别为房间中无吸烟者和有一名吸烟者在24小时内的悬浮颗粒量（以3g/m计）。设2XX~(,)XN，2YY~(,)YN，22XYXY,,,均未知。今取到总体X的容量1n9的样本，算得样本均值为x=93，样本标准差为Xs12.9；取到总体Y的容量为11的样本，算得样本均值为y=132，样本标准差为Ys7.1，两样本独立。（1）试检验假设(0.05)：22220XY1XY:,:HH。（2）如能接受0H，接着检验假设(0.05)：'0XY:=H。已知0.0250.0250.975(8,10)3.85(10,8)4.30(18)2.1009FFt（，，）四、论述题（本题20分）试阐述假设检验的基本思想及基本步骤。试卷B一、填空题（每小题2分，共10分）1.五数概括是指哪五数?。2.若𝑇~𝑡(𝑛),那么𝑇2服从什么分布？。3.𝑋服从正态分布，𝐸(𝑋)=−1,𝐸(𝑋2)=4,𝑋̅=1𝑛∑𝑋𝑖𝑛𝑖=1,则𝑋̅服从的分布为。4.(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛)是来自总体𝑋的样本，𝐸(𝑋)=2,𝑉𝑎𝑟(𝑋)=𝜎2,试利用总体均值已知的信息对𝜎2给出一个比样本方差𝑆2更有效的无偏估计。。5.设总体𝑋～𝑁(𝜇,1)，为使总体均值𝜇的置信度为1−α的置信区间长度不大于L，则样本容量至少应取。二、判断题（认为描述正确打“√”，反之打“×”，每小题2分，共10分）1.样本均值的平方𝑋̅2是总体均值平方𝜇2的无偏估计。（）2.在给定置信水平1−α下，被估计参数的置信区间不唯一。（）3.无偏估计一般不唯一，但是最大似然估计一定总是唯一的。（）4.对总体未知参数作区间估计，若其它条件不变，如要求置信水平越高，则置信区间长度越大。（）5.假设检验的𝑝值越小，第一类错误发生的概率越大，同时第二类错误发生的概率会越小。（）三、计算题（共70分，除题6为10分外，其余各题为12分）1.顾客在某银行窗口等待服务的时间𝑋（以分钟计）服从指数分布𝐸𝑥𝑝(1λ)，其密度函数为𝑓(𝑥;𝜆)={1λe−𝑥λ,𝑥00,𝑥≤0。按照经验资料，可以认为顾客等待服务的平均时间即总体均值𝐸(𝑋)为5分钟。现调查10位顾客的等待时间，得到样本(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥10)。记样本均值为𝑥̅,样本方差为𝑆2.试求𝐸(𝑥̅),𝑉𝑎𝑟(𝑥̅),𝐸(𝑆2)。2.(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛)是来自总体𝑋的样本，总体的密度函数为𝑓(𝑥;𝜃)={2𝑥𝜃2,0𝑥≤𝜃0,其它，（1）求𝜃的矩估计，记作𝜃1̂。（2）求𝜃的极大似然估计，记作𝜃2̂。（3）问𝜃的极大似然估计𝜃2̂是否是𝜃的无偏估计，如果不是请对它修正。（4）求总体中位数的极大似然估计。3.设由来自正态总体𝑋～𝑁(𝜇,0.92)容量𝑛=9的简单随机样本，样本均值为𝑥̅=5,求未知参数𝜇的0.95置信区间。4.某公司想了解某城市有网购习惯的家庭比例𝑝，作为制定公司营销政策的一个参考。（1）若要以95%的置信水平确保𝑝的0.95置信区间半径不超过0.05，请问调查人员至少要调查多少用户？（2）若由于各种原因，调查人员调查了150个用户，发现有90求有网购习惯的家庭比例𝑝的0.95置信区间。5.某商品包装袋上标明每包净重100克，现市场管理部门对这类产品抽查，共抽取16包，称得实际平均每袋的重量为96克，标准差为10克。给定0.05的显著性水平检验该产品重量是否显著低于100克的标准。6.为了比较A和B两个区域的居民家庭人均月收入，在A区域随机抽取15户、在B区域随机抽取12户进行调查。根据经验资料可以认为每个区域居民家庭人均月收入服从正态分布。调查结果表明A地区样本家庭人均月收入平均为2000元，标准差为500元；B地区样本家庭人均月收入平均为2300元，标准差为600元。请在0.05的显著性水平下做如下检验：（1）检验A和B两个地区的家庭人均收入标准差是否有差别？（2）继续检验两个地区家庭人均收入是否有差别？四、证明题（10分，完成任一小题可得6分）设(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛)是来自总体𝑋～𝑁(𝜇,𝜎2)的样本，样本均值为𝑥̅,样本方差为𝑆2.𝑥𝑛+1是对𝑋的又一次独立观察值，试证明(1)(𝑥𝑛+1−𝑥̅)2𝜎2𝑛𝑛+1～𝜒2(1).(2)(𝑥𝑛+1−𝑥̅)2𝑆2𝑛𝑛+1～𝐹(1,𝑛−1).附：𝑡0.975(13)=2.1604，𝑡0.95(14)=2.1448，𝑡0.95(15)=2.1314𝑡0.95(13)=1.7709，𝑡0.95(14)=1.7613，𝑡0.95(15)=1.7531，𝑡0.975(24)=2.0639，𝑡0.975(25)=2.0595，𝑡0.975(26)=2.0555，𝑡0.95(24)=1.7109，𝑡0.95(25)=1.7081，𝑡0.95(26)=1.7056，𝐹0.975(11,14)=3.0946，𝐹0.975(14,11)=3.3588𝐹0.975(12,15)=2.9633，𝐹0.975(15,12)=3.1772𝐹0.95(12,15)=2.4753，𝐹0.95(15,12)=2.6169𝐹0.95(11,14)=2.5655，𝐹0.95(14,11)=2.7386试卷C一、判断题（𝟐分×𝟓）：设x1,…,xn为取自正态分布N（μ，σ2）的样本，μ和σ2均未知，则(1)∑(x1−μ)2ni=1是统计量么？(2)1n∑(x1−x)2ni=1是σ2的无偏估计么？(3)由一个样本x1,…,xn构建的置信区间一定覆盖μ么？(4)Crame-Rao不等式的下界一定可以达到？(5)在假设检验中，可以同时降低犯第一类和第二类错误的概率么？二、填空题（𝟐分×𝟓）：1.设x1,…,xn独立同分布于正态分布N（μ，σ2）(1)构建一个自由度为n的卡方分布(2)构建一个F（1，n-1）分布(3)构建一个自由度为n-1的t分布2.将无罪的人错判为有罪，犯了第___类错误。3.均匀分布U（0，θ）中的θ充分统计量是_______。三、证明题（10分）：对正态总体N（μ，σ2），设有样本x1,…,xn，推导θ=(μ,σ2)的最大似然估计。四、计算题：1、约翰对64只老鼠进行特殊饮食喂养后，测量它们体重的样本均值x̅和样本标准差s。并指出95％的置信区间为（34.02，35.98）（克）。（1）（6分）基于这些信息，计算x̅和s。（2）（6分）给定显著水平0.01，判断总体均值是否小于34.5克2、A、B两个工人加工某种零件，零件的重量（kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）和N（μ2，σ22）。随机的从A工人加工的产品中抽测8件，从B工人加工的产品中抽测9件:A:15.014.81515.214.815.015.214.8B:15.215.014.815.215.015.014.815.214.8（1）（6分）在5%的显著水平下检验方差齐性（2）（6分）根据（1）的结果，在5%的显著水平下检验均值齐性3、某款凉鞋的可选三种材料（P）塑料（L）皮革（C）帆布。一经销商共售出40双，分别为塑料10双、皮革10双和帆布20双。设p=客户喜欢塑料凉鞋比例（1）（6分）计算p的点估计及其估计标准差。（2）（3分）计算p的90%置信区间（3）（3分）不用计算，在10%的显著水平下是否拒绝p=0.25的假设4、以下为6种面料在两种实验条件下的破断载荷数据。假设破断载荷分布是正态的，面料123456条件136.437.550.538.74246.8条件230.445.546.534.73652.8（1）（6分）采用二样本检验面料在两种条件下是否破断载荷能力相同。（2）（6分）采用成对样本检验面料在两种条件下是否破断载荷能力相同。5、若总体𝑋服从二项分布(𝑛,𝑝)，𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑘是它的一个样本，（1）试给出𝑝的两个无偏估计；（2）比较说明你给出的两个无偏估计的有效性。五、论述题（10分）：试举例阐述最大似然估计的思想？试卷D一、判断题（每小题2分，共计10分）1.若参数𝜃2的无偏估计是𝑋̅2,则参数𝜃的无偏估计是𝑋̅.（）2.已知某总体的偏度为0,则该总体为对称分布.（）3.矩估计不一定唯一,极大似然估计也可能不唯一.（）4.指数分布总体的样本最大值服从指数分布.（）5.同一假设检验问题中的第一类和第二类错误可以同时变小.（）二、填空题（每空3分，共计30分）1.从标准正态分布的总体抽取容量为𝑛的样本𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛,则𝑌=∑𝑋𝑖𝑛𝑖=1服从自由度为的𝜒2分布,方差为。2.设𝑋~𝑁(𝜇1,𝜎12),𝑌~𝑁(𝜇2,𝜎22),分别抽取样本容量𝑛1,𝑛2的样本,分别记各自样本方差为𝑆12和𝑆22,其中𝑋和𝑌独立,则统计量服从𝐹(𝑛2−1,𝑛1−1)。3.设𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛是来自指数分布𝐸𝑥�