《等差数列前n项和》教案12(第一课时)(人教A版必修5)

2.3等差数列的前n项和（一）一、教学目标1、等差数列前n项和公式．2、等差数列前n项和公式及其获取思路；3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．三、教学过程（一）、复习引入：1．等差数列的定义：na－1na=d，（n≥2，n∈N）2．等差数列的通项公式：（1）dnaan)1(1（2）nadmnam)(（3）na=pn+q(p、q是常数)3．几种计算公差d的方法：①nad－1na②11naadn③mnaadmn4．等差中项：,,2babaA成等差数列5．等差数列的性质：m+n=p+qqpnmaaaa(m,n,p,q∈N)6．数列的前n项和：数列na中，naaaa321称为数列na的前n项和，记为nS.“小故事”1、2、3高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目:1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．二、讲解新课：1．等差数列的前n项和公式1：2)(1nnaanS证明：nnnaaaaaS1321①1221aaaaaSnnnn②①+②：)()()()(223121nnnnnnaaaaaaaaS∵23121nnnaaaaaa∴)(21nnaanS由此得：2)(1nnaanS．2．等差数列的前n项和公式2：2)1(1dnnnaSn．用上述公式要求nS必须具备三个条件：naan,,1．但dnaan)1(1代入公式1即得：2)1(1dnnnaSn此公式要求nS必须已知三个条件：dan,,1总之：两个公式都表明要求nS必须已知nadan,,,1中三个．公式二又可化成式子：ndandSn)2(212，当d≠0，是一个常数项为零的二次式．三、例题讲解例1、(1)已知等差数列{an}中,a1=4,S8=172,求a8和d;(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：(1)392)4(817288aa5)18(439dd(2)设题中的等差数列为na，前n项为nS则54,4)10()6(,101nSda由公式可得5442)1(10nnn.解之得：3,921nn（舍去）∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54．例2、教材P43面的例1解：例3．求集合100*,7|mNnnmmM且的元素个数，并求这些元素的和．解：由1007n得72147100n∴正整数n共有14个即M中共有14个元素即：7，14，21，…，98是为首项71a9814a等差数列．∴7352)987(14nS答：略．例4、等差数列na的前n项和为nS，若122084,460SS，求28S.（学生练学生板书教师点评及规范）练习：⑴在等差数列na中，已知399200aa，求101S.⑵在等差数列na中，已知15129620aaaa，求20S.例4．已知等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.解：依题意，得,67,213214321nnnnaaaaaaaa两式相加得,88)()()()(3423121nnnnaaaaaaaa又,3423121nnnnaaaaaaaa所以221naa又2862)(1nnaanS，所以n=26．例5．已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项的和吗？.思考：（1）等差数列中1020103020,,SSSSS，成等差数列吗？（2）等差数列前m项和为mS,则mS、mmSS2.、mmSS23是等差数列吗？练习：教材第118页练习第1、3题．三、课堂小结：1.等差数列的前n项和公式1：2)(1nnaanS；2.等差数列的前n项和公式2：2)1(1dnnnaSn．四、课外作业：1.阅读教材第42～44页；