数学建模试题数学建模队员的选拔

1关于数学建模队员选拔问题的数学模型郑逸李洁孙德毅网工141生科142金融1411931412113214212163141102关于数学建模队员选拔问题的数学模型摘要该模型解决了选拔参赛队员及确定最佳组队的问题。该问题涉及面很广，是我们身边经常会遇到的。本文主要采用了层次分析法，综合考虑个人的指标以及整队的技术水平，最终从15名队员中选出9名优秀队员组成三队，并建立了最佳组队的方案。问题二：在选拔队员时，我们全面考察了队员的六项指标，并按照相应的权重得到15名队员的综合排名，最后淘汰掉排名靠后的6名队员,依次为：S7,S12,S13,,S15,S5,S3为了组成3个队，我们根据他们的数学水平和计算机编程能力组成小队。分组队员一队员二队员三第一组1S10S14S第二组6S11S4S第三组2SS98S问题三，我们只考虑计算机能力而不再考察其它情况，认为他的计算机能力比所有人都强，得分为5，但其他能力都不是很强，最终的权重显示，该名同学不在前九名，因此不可取。关键词：层次分析法技术水平指标最佳组队3一、问题重述一年一度的全国大学生数学建模竞赛是全国所有高校的重要赛事，如何选拔最优秀的队员和科学合理组队问题是一个首先需要解决的数学模型问题。目前选拔队员主要考虑一下几个环节数学建模培训课程的签到记录；数学建模成绩，上机操作，学生个人简介，面试，老师和学生的推荐等，通过这种方式选拔出队员。然后按照3人一组分为若干小组，为了使得小组具有较好的知识结构，一般总不将不同专业的学生安排在一起，使得每个小组至少包含一位数学基础较好的同学、计算机编程能力强的同学。各组通过做题进行交流和磨合，合作比较好的保留，合作不好的进行调整。需要解决的问题如下：1．根据所了解的数学建模知识，明确选拔数学建模队员主要考察的相应素质以及考察方法。2．根据基本条件表的信息，建立建模队员选拔的数学模型，从中选出9位同学，并组成3个队，使得这三个队具有良好的知识机构。3．判断直接录用一个计算机编程高手，而不再考察其它情况这种选拔方式是否可取。4．为数学建模教练组写一份300字的报告，提出建模队员选拔机制建议，帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。二、问题分析2.1问题一分析根据我们所了解的数学建模知识，在选拔数学建模队员时应考察学生的数学基础以及必要的数学建模的知识、良好的编程能力以及熟练地使用数学软件的能力、较强的语言表述能力和写作能力、良好的团队合作精神。同时还要求队员思维敏捷、不怕苦不怕累、对数学模型有较好的悟性。数学和计算机能力是建模的关键，组队时，我们应该优先考虑有这方面才能的人。数学以及数学建模的知识可以通过学生的数学建模笔试成绩和数学竞赛获奖情况来考察，而计算机能力主要通过上机测试成绩来考察。2.2问题二分析问题二就是在15名学生中剔除6名实力最弱的。由题意可知，该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，我们主要利用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各队员对各指标的权重，然后综合考察每个队员的权重进行排名，最后剔除排名落后的六名学生。2.3问题三分析问题三我们在前一问的基础上进行假设，假设计算机是队员选拔的关键因素，选拔出几名队员，与问题二的综合排名进行对比。通过结果确定直接录取而不考虑其他方面的做法是否可取。2.4问题四分析通过以上三个问题的分析，提出了建模队员的选拔机制建议。4三、模型假设1、假设参赛队员的外部环境相同，竞赛中不考虑其它的随机因素。在正式比赛对过程中队员都能正常的发挥自己的水平。2、假设竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件,且认为表中测量的数据都是客观公正的。3、假设数学建模笔试成绩，机试成绩，思维敏捷程度，知识面宽广程度，数学建模选修课听课次数以及其他计算机应用情况，这6项对学生数学建模综合能力的影响占主要地位，且影响程度是依次递减的。4、假设在组队后各队的发挥是相互独立对，不受其他组的影响。5、假设组队后的整体水平由该队每项的最佳队员的指标表征。四、符号说明CI一致性指标RI随机一致性指标CR一致性检验指标1ω准则层对目标层的特征向量2ω方案层对准则层的特征向量ω方案层对目标层的特征向量max最大特征值()imx队员x的第i项水平指标,,iMxyz队员,,xyz组队,,xyz的第i项水平指标,,vxyz技术水平指标1215,,...SSS15名队员的编号5五、模型的建立与求解5.1问题二模型的建立及求解5.1.1参赛队员的选取由每个学生的基本条件表可知，该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题。为了从15名队员中选出9名参赛者，我们主要利用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各队员对各指标的权重，然后综合考察每个队员的权重进行排名。根据题目给出的6项指标，我们首先将各指标量化，为了区分各项条件中的档次差异，确定量化原则如下：笔试成绩按照满分6分计；思维敏捷、机试和知识面的A、B、C、D等级分别按4分、3分、2分、1分计算；听课次数按一次2分计；其他情况（使用数值进行比较）过计算机三级2，上过建模选修课5，考过程序员3，学过MATLAB4，未提供数据1。班级排名情况由于统计的不是很全，所以不好进行量化，因此这项指标可以不用考虑。表（１）15名学生量化分数表学生选修笔试机试思维敏捷知识面听课次数其他情况1S96344212S93343633S92122414S82334415S82233316S82341617S8323518S79344429S782424210S773435211S764236112S742442113S784312114S763445115S66323615.1.2运用层次分析法：将从15名学生中选拔9名优秀队员看作一个目标，作为目标层。将刻画队员的7个指标作为标准层。将15名学生作为方案层。如图（1）6图1层次结构图由题目已知及假设可得，准则层的七项指标依次递减，并认为相邻两项的差距不大，且都假设是相等的，这里都认为相差为1，于是两两对比得如下比较矩阵：1234561/2123451/31/212341/41/31/21231/51/41/31/2121/61/51/41/31/21A=这里我们用和法来计算，以下为步骤：①将A的每一列向量归一化得1/(1,2,...,);nijijijiaajn②将ij按行求和得1(1,2,...,);niijjin③将i归一化得1/,niiii112(,,...,)Tnω为近似特征向量；④计算最大特征值1max1()1niiinAω；由以上公式计算可得最大特征值max7.1973。特征向量10.3504,0.2375,0.1590,0.1056,0.0696,0.0462,0.0318Tω根据一致性指标公式可得：一致性指标随机一致性指标可根据表（2）查得：(1)1.3200RI。表（2）随机一致性指标RI的值7n234567891011RI0.050.580.911.121.241.321.411.451.491.51根据公式得到随机一致性比率：(1)(1)0.02490.1(1)CICRRI，我们认为成对比较矩阵A具有满意的一致性，所以通过一致性检验。我们也可以用MATLAB编程计算得到（见附录程序1）。根据问题的条件和模型的假设，对每个人各项条件的量化指标能够充分反映出每个人的综合实力。由此可以分别构造P层对准则KC的比较矩阵：(),()kijNNbKB其中，()(),()(,1,2,...,7)kkiijkjTbijT。显然，所有的(1,2,...,7)kkB均为一致阵。由一致阵的性质可知：kB的最大特征值()maxkN，20kCR，其任一列向量都是()maxk的特征向量。将其归一化可得P对kC的权重向量。记作()()()12(,,...,)kkkTNkω(1,2,...,7)k，记2(1)(2)(7)7(,,...,)Nω为P层对C层的权重，且一致性比率指标为7()21(2)0kkCRCR，表（3）为PC层的特征向量：表（3）：PC层的特征向量C-P1C笔试2C机试3C思维敏捷4C知识面5C听课次数6C其他情况1SP0.07930.07140.08160.09090.03120.03572SP0.07680.07140.08160.06820.09370.07143SP0.0760.02380.04080.04550.06250.03574SP0.06770.07140.06120.09090.06250.17865SP0.06770.04760.06120.06820.04690.03576SP0.06770.07140.08160.02270.09370.03577SP0.06610.07140.04080.06820.07810.035788SP0.06520.07140.08160.09090.06250.10719SP0.06440.04760.08160.04550.06250.142910SP0.06360.07140.08160.06820.07810.142911SP0.06280.09520.04080.06820.09370.035712SP0.06110.04760.08160.09090.03120.035713SP0.06440.09520.06120.02270.03120.035714SP0.06280.07140.08160.09090.07810.035715SP0.05450.07140.04080.06820.09370.0357由于标准层C对目标层O的权重为1ω，方案层P对标准层C权重为2ω，则P对O的权重为：(1)(2)(7)()()()12(,,...,)(,,...,)kkkTN211ωωωω其组合一致性比率指标为：(2)(1)00.02490.02490.1CRCRCR因此，组合权重ω可作为目标决策的依据。根据权重，得到15人的排序结果见表（4）。表（4）：15人的最终排序结果特征向量0.07660.07550.07520.07470.07290.07260.06880.0658队员S2S4S8S10S1S14S11S6特征向量0.06450.06250.0620.06070.06070.05830.0493队员S9S7S12S13S15S5S3由表可以作队员的权重图见图(2)：9图215名队员权重图根据题目要求，在15名学生中选取9名参赛队员，即选取权重排前9名的学生。由图表可知，依次为：S2,S4,S8,,S10,S1,S14,S11,S6,S9。5.1.2最佳组队方案的确定：第二小问是确定最佳的组队，使竞赛技术水平最高。显然是要考虑队员之间各项指标的互补性，找到三人让其各项权重达到最大值。组队原则：三名队员的技术水平可以互补（最好来自不同专业），技术水平最高则为该队的水平指标。任取3名队员组合，求出相应的技术水平指标之和的最佳组队方案对分组的影响主要取决于前四项指标：数学建模选修成绩，机试成绩，数学竞赛获奖情况，思维敏捷程度。9名学生分为3组，总共有3984C种组队方式。按照不同专业学生分在不同组的原则，有36种组队方式。,,xyz：,,xyz三名队员组成的一个队。()imx：队员x的第i项水平指标。,,iMxyz：队员,,xyz组队,,xyz的第i项水平指标,,vxyz：技术水平指标127[,,,,,,...,,,]MMxyzMxyzMxyz,,max{(),(),()},1,2,...,7iiiiMxyzmxmymzi,,vxyzM1ω。经计算得出组队结果：分组队员一队员二队员三该组水平第一组1S10S14S0.099179110第二组6S11S4S0.