函数平方逼近多项式的均方误差计算

函数平方逼近多项式的均方误差计算一、实验目的:理解函数最佳平方逼近思想的原理以及最佳平方逼近和最小二乘逼近的概念及区别，掌握函数平方逼近多项式的求解方法及算法的设计，并会计算均方误差。二、实验要求:设22511)(xxf(1)求连续函数)(xf在区间[-1,1]上的3次最佳平方逼近多项式，计算均方误差c；(2)在区间[-1,1]上取5个等距结点，求)(xf的离散3次最佳平方逼近多项式，计算均方误差5。(3)在区间[-1,1]上取9个等距结点，求)(xf的离散3次最佳平方逼近多项式，计算均方误差9。比较5和9你发现了什么问题，应如何合理地定义离散情况下的均方误差？你的定义与（1）中的c有何关系？三、实验原理njjjxCxS0**)()(，为空间某一函数)(xf的最佳逼近，指对于所有)(xS，都有babadxxSxfxxSxfx22*)]()()[()]()()[(，也就是说误差njjjxCxf0*)()(的平方在积分意义下达到极小，这就是最佳平方逼近。也可以从另一个角度来求解，积分dxxCxfxbanjjj20])()()[(是关于nCCC,...,10的二次多元函数，就是寻找函数I（nCCC,...,10）的极小值，其必要条件为kCI=0，k=0,1，...n。从而有bakinibaikdxxxfxCdxxxx)()()())()()((0，即),(),(0kinjikfC，k=0,1，...n四、实验过程与结果：解：（1）连续函数)(xf在区间[-1,1]上的3次最佳平方逼近多项式为)(xf=-0.70372x+0.5092均方误差c=0.0742（2）在区间[-1,1]上取5个等距结点，)(xf的离散3次最佳平方逼近多项式为：)(xf=-3.7585*18103x-0.606292x-8.2412*1810x+0.5737均方误差5=0.3534（3）在区间[-1,1]上取9个等距结点，)(xf的离散3次最佳平方逼近多项式为：)(xf=-2.8743*16103x-0.56092x+2.4234*1610x+0.4855均方误差9=0.4053函数图像如下：图中，蓝色线为源图像，红色线为平方逼近图像，黑色线为5点最小二乘拟合多项式图像，绿色线为9点最小二乘拟合多项式图像，五、结果分析：连续函数的最佳平方逼近多项式拟合精度最高，由图中可以看出，9个点的最小二乘拟合更接近于连续函数的最佳平方逼近，在实际操作中我们往往只知道离散点，所以用离散平方逼近的情况更多些，应该尽量多取些点，以达到更高精度。