1112学年高中数学122基本初等函数的导数公式及导数运算法则2同步练习新人教A版选修2

-1-选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.2．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝()A．x4B．x4－2C．4x3－5D．x4＋2[答案]B[解析]∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是()A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n[答案]A[解析]∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和为：Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1-2-＝1－1n＋1＝nn＋1，故选A.4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝ax＋b2a2－b24a，顶点－b2a，－b24a在第三象限，故选C.5．函数y＝(2＋x3)2的导数为()A．6x5＋12x2B．4＋2x3C．2(2＋x3)2D．2(2＋x3)·3x[答案]A[解析]∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2.6．(2010·江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1B．－2C．2D．0[答案]B[解析]本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2要善于观察，故选B.7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝()A．0B．－1C．－60D．60[答案]D[解析]∵f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)′＝10(1－2x3)9·(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，∴f′(1)＝60.8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()A．22cos2x－π4B．cos2x－sin2x-3-C．sin2x＋cos2xD．22cos2x＋π4[答案]A[解析]y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－π4.9．(2010·高二潍坊检测)已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.12[答案]A[解析]由f′(x)＝x2－3x＝12得x＝3.10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()A．－15B．0C.15D．5[答案]B[解析]由题设可知f(x＋5)＝f(x)∴f′(x＋5)＝f′(x)，∴f′(5)＝f′(0)又f(－x)＝f(x)，∴f′(－x)(－1)＝f′(x)即f′(－x)＝－f′(x)，∴f′(0)＝0故f′(5)＝f′(0)＝0.故应选B.二、填空题11．若f(x)＝x，φ(x)＝1＋sin2x，则f[φ(x)]＝_______，φ[f(x)]＝________.[答案]2sinx＋π4，1＋sin2x[解析]f[φ(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2＝|sinx＋cosx|＝2sinx＋π4.φ[f(x)]＝1＋sin2x.12．设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝-4-________.[答案]π6[解析]f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)＝2sin3x＋φ＋5π6.若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sinφ＋5π6，∴φ＋5π6＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．[答案]32x(1＋2x2)7[解析]令u＝1＋2x2，则y＝u8，∴y′x＝y′u·u′x＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.14．函数y＝x1＋x2的导数为________．[答案](1＋2x2)1＋x21＋x2[解析]y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋1＋x2)；(3)y＝ex＋1ex－1；(4)y＝x＋cosxx＋sinx.[解析](1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.(2)y′＝1x＋1＋x2·(x＋1＋x2)′＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.-5-(3)y′＝(ex＋1)′(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)′(ex－1)2＝－2ex(ex－1)2.(4)y′＝(x＋cosx)′(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)′(x＋sinx)2＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2.16．求下列函数的导数：(1)y＝cos2(x2－x)；(2)y＝cosx·sin3x；(3)y＝xloga(x2＋x－1)；(4)y＝log2x－1x＋1.[解析](1)y′＝[cos2(x2－x)]′＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]′＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)′＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)＝(1－2x)sin2(x2－x)．(2)y′＝(cosx·sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.(3)y′＝loga(x2＋x－1)＋x·1x2＋x－1logae(x2＋x－1)′＝loga(x2＋x－1)＋2x2＋xx2＋x－1logae.(4)y′＝x＋1x－1x－1x＋1′log2e＝x＋1x－1log2ex＋1－x＋1(x＋1)2＝2log2ex2－1.17．设f(x)＝2sinx1＋x2，如果f′(x)＝2(1＋x2)2·g(x)，求g(x)．[解析]∵f′(x)＝2cosx(1＋x2)－2sinx·2x(1＋x2)2＝2(1＋x2)2[(1＋x2)cosx－2x·sinx]，又f′(x)＝2(1＋x2)2·g(x)．∴g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)(1)y＝f1x；(2)y＝f(x2＋1)．-6-[解析](1)解法1：设y＝f(u)，u＝1x，则y′x＝y′u·u′x＝f′(u)·－1x2＝－1x2f′1x.解法2：y′＝f1x′＝f′1x·1x′＝－1x2f′1x.(2)解法1：设y＝f(u)，u＝v，v＝x2＋1，