22函数例题解析

2．2函数·例题解析【例1】判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？(1)x2＋y＝1(2)x＋y2＝1(3)y＝11xx解(1)由x2＋y＝1得y＝1－x2，它能确定y是x的函数．(2)xy1yyx2由＋＝得＝±．它不能确定是的函数，因为对1x于任意的x∈{x|x≤1}，其函数值不是唯一的．(3)yyx＝的定义域是，所以它不能确定是的函数．11xx【例2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么？(1)f(x)|x|(t)(2)f(x)g(x)(x)2＝，＝＝，＝tx22(3)f(x)g(x)(4)f(x)g(x)＝·，＝＝·，＝xxxxxx11111122解(1)中两式的定义域部是R，对应法则相同，故两式为相同函数．(2)、(3)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数．(4)中两式的定义域都是－1≤x≤1，对应法则也相同，故两式子是相同函数．【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)2(2)f(x)(3)f(x)＝＋＋＝＝xxxxxxx14532102152||(4)f(x)(4x5)(1)x104x01x4{x|1x4}(2)3x20x{x|x}＝＋－由－≥－≥得≤≤．∴定义域是≤≤由－＞，得＞，∴定义域是＞812323||x解(3)10xx210|x|503x7x5{x|3x7x5}2由－－≥－≠得≤≤且≠，∴定义域是≤≤，且≠(4)10|x|04x508x00xx8[80)(0)()由－≥≠－≠解得－≤＜或＜＜或＜≤∴定义域是－，∪，∪，8545454548||x【例4】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数的定义域：(1)yf(2)yf(2x)f(3)yf＝＝＋＝()()()1232xxxa解(1)01x1x1f(){x|x1x1}由＜≤，得≤－或≥，∴的定义域是≤－或≥1122xx(2)02x10x10xf(2x)f(x){x|0x}(3)01由≤≤≤＋≤得≤≤∴＋＋的定义域是≤≤≤≤23132313xa当＞时，得≤≤，定义域为，当＜时，得≤≤，的定义域为，若函数＝的定义域是一切实数．a00xaf(xa)[0a]a0ax0f(xa)[a0]y【例5】axaxa21求实数a的取值范围．解xaxax0a0a400a222∵∈，－＋≥∴＞Δ＝－≤＜≤．R1a为所求a的取值范围．【例6】求下列函数的值域：(1)y＝－5x2＋1(2)y3＝＋x4(3)y＝x2－5x＋6，x∈[－1，1)(4)y＝x2－5x＋6，x∈[－1，3](5)y(6)y＝＝25131222xxxx(7)y(8)y2x3＝＝－[phone]xxxxx(9)y＝|x－2|－|x＋1|解(1)∵x∈R，∴－5x2＋1≤1，值域y≤1．(2)x433y3(3)yx5x62∵≥－，∴＋≥，∴值域≥∵＝－＋＝－xx452142()∵－，，在区间－，上为减函数，如图．－．∴值域∈，．＝－，5252142[[()11)y11)221y(212)(4)yx∵－，，如图－，当＝时，＝－．当＝－时，＝．∴值域∈－，52521414[13]2.22xyx1y12y[12]minmax(5)y5(x+)yy{y|yy}＝＝＝－∴≠．故值域∈∈且≠25121515152525512525xxxx()()R(6)定义域为R∵≠，∴由＝，解得＝，又∵≥，∴≥解得－≤＜，值域∈－，y3yxx00y3y[3)22312123123121222xxyyyy(7)解：定义域x≠1且x≠2由去分母整理得：41253222xxxx(y－4)x2－3(y－4)x＋(2y－5)＝0①当y－4≠0时，∵方程①有实根，∴Δ≥0，即9(y－4)2－4(y－4)(2y－5)≥0化简得y2－20y＋64≥0，得y＜4或y≥16当y＝4时，①式不成立．故值域为y＜4或y≥16．(8)()4x130xtt0解法一由－＞，得≥，设＝，则≥．134413x∴＝．那么＝×－＋＝＋＋≥xy23t(t1)3(t0)2tt2213413412函数y在t≥0时为增函数(见图2．2－3)．∴＋＋≥．故所求函数值域为≥．解法二∵＝－＋．127272413(t1)3y()y2x32x∴＝－＋＝＋＋∴＝＋＋≥，即≥2y4x624x13(4x131)26y(4x131)3y2127272(9)解：去掉绝对值符号，f(x)3(x2)2x1(1x2)3(x1)＝－＞－＋－≤≤＜－其图像如图2．2－4所示．由图2．2－4可得值域y∈[－3，3]．说明求函数值域的方法：1°观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等．(如例1，2)2°求二次函数在指定区间的值域(最值)问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理．假如求函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，在给定区间[m，n]的值域(或最值)，分三种情况考虑：(i)xn225()f(x)f(m)f(x)f(n)(ii)x[mn]225()f(x)f()maxminmin当对称轴＝－＞时，如图．－甲，＝，＝．当对称轴＝－∈，时，如图．－乙，＝－，bababa222f(x)f(m)f(n)(iii)xm225()f(x)f(n)f(x)f(m)maxmaxmin是，两值较大者．当对称轴＝－＜时，如图．－丙，＝，＝ba23y(c0)y°分离常数法：型如＝既约分式，≠的值域为≠，axbcxdac(如例5)可做公式用．4y(aa)yx12°判别式法：型如＝、不同为零，不能约为型如＝．可将函数解析式转化为关于的二次方程，用判别式axbxcaxbxcaxbcxd1211222法求y的范围(如例6－7)．5yaxb°型如＝＋±，可利用换元法或配方法将原函数化cxd为二次函数求值域．但要注意中间量t的范围(如例6－8)．6°分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来．利用有界变量的范围，求函数y的值域(如例6－6)．7°图像法(如例6－9)：由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解．【例7】(1)f(x1)2x4xf(1)(2)f(x)10(x0)10x(x0)f[f(7)]2已知＋＝－，求－已知＝＜≥求－．2解(1)x11xf(1)2()4()442由＋＝－得＝－，∴－＝－－－＝＋．222222解(2)∵f(－7)＝10，∴f[f(－7)]＝f(10)＝100．说明本例较简单，但主要用意是深刻理解函数符号f(x)的意义．求分段函数值时，要注意在定义域内进行．【例8】根据已知条件，求函数表达式．(1)已知f(x)＝3x2－1，求①f(x－1)，②f(x2)．(2)已知f(x)＝3x2＋1，g(x)＝2x－1，求f[g(x)]．(3)f(x1)x6x7已知－＝－－．求f(x)．(4)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)．(5)设周长为a(a＞0)的等腰三角形，其腰长为x，底边长为y，试将y表示为x的函数，并求它的定义域和值域．(1)分析：本题相当于x＝x－1时的函数值，用代入法可求得函数表达式．解∵f(x)＝3x2－1∴f(x－1)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2f(x2)＝3(x2)2－1＝3x4－1(2)分析：函数f[g(x)]表示将函数f(x)中的x用g(x)来代替而得到的解析式，∴仍用代入法求解．解由已知得f[g(x)]＝3(2x－1)2＋1＝12x2－12x＋4(3)f(x1)x6x7x1xx1f(x)分析：∵已知－＝－－，可将右端化为关于－的表达式，然后用代替－，就可求得表达式．这种方法叫凑配法(或观察法)．解法一()f(x1)x6x7(x1)4(x1)12(x11)f(x)x4x12(x1)22－＝－－＝－－－－－≥－∴＝－－≥－解法二()tx1t1令＝－，则≥－，∴x＝(t＋1)2代入原式有f(t)＝(t＋1)2－6(t＋1)－7＝t2－4t－12(t≥－1)即f(x)＝x2－4x－12(x≥－1)说明解法二是用的换元法．注意两种方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要熟练掌握换元法．(4)分析：本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)由f(0)＝2，得c＝2．由f(x＋1)－f(x)＝x－1，得恒等式2ax＋(ab)x1xabf(x)xx22＋＝－，比较等式两边的同次幂的系数得＝，＝－，故所求函数＝－[phone]说明待定系数是重要的数学方法，应熟练掌握．(5)解：∵2x＋y＝a，∴y＝a－2x为所求函数式．∵三角形任意两边之和大于第三边，∴得2x＋2x＞a，又∵y＞0，∴－＞，由＞－＞＜＜得函数的定义域为∈，a2x04xaa2x0xx(a4)aaa422由＜＜，得＜－＜，即得函数的值域为∈，．aaaa4222x0a2xy(0)说明求实际问题函数表达式，重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式，其定义域与值域，要考虑实际问题的意义．