2012届高三数学一轮复习平面解析几何练习题3

第8章第3节一、选择题1．(文)(2010·黑龙江哈三中)直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a0)没有公共点，则a的取值范围是()A．(0，2－1)B．(2－1，2＋1)C．(－2－1，2＋1)D．(0，2＋1)[答案]A[解析]圆的方程x2＋(y－a)2＝a2，由题意知圆心(0，a)到直线x＋y－1＝0距离大于a，即|a－1|2a，解得－1－2a－1＋2，∵a0，∴0a2－1.(理)(2010·宁德一中)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．－3m1B．－4m2C．0m1D．m1[答案]C[解析]根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d小于半径．∵圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心是(1,0)，半径是2，∴d＝|1－0＋m|22，∴|m＋1|2，∴－3m1，故所求的m的取值集合应是(－3,1)的一个真子集，故选C.2．直线l：2xsinα＋2ycosα＋1＝0，圆C：x2＋y2＋2xsinα＋2ycosα＝0，l与C的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不能确定[答案]A[解析]圆心C(－sinα，－cosα)到直线l的距离为d＝|－2sin2α－2cos2α＋1|＋＝12，圆半径r＝1，∵dr，∴直线l与⊙C相交．3．(文)(2010·青岛市质检)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()A．2B．1＋2C．2＋22D．1＋22[答案]B[解析]圆心C(1,1)到直线x－y－2＝0距离d＝2，∴所求最大值为d＋r＝2＋1.(理)(2010·山东肥城联考)若圆x2＋y2－6x－2y＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax－y＋1＝0(a是实数)的距离为1，则a等于()A．±1B．±24C．±2D．±32[答案]B[解析]圆(x－3)2＋(y－1)2＝4，半径为2，由题意圆心(3,1)到直线的距离是1，∴|3a|a2＋1＝1，∴a＝±24.4．(2010·深圳中学)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则()A．l的方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0B．l的方程为5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．l的方程为5x－12y＋20＝0D．l的方程为5x＋12y＋20＝0[答案]A[解析]圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0化为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，圆心C(－1,2)，半径r＝5，点在圆内，设l斜率为k，方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，∵|AB|＝8，∴圆心到直线距离为52－42＝3，∴|－k－2＋4k|k2＋1＝3，∴k＝－512，当斜率不存在时，直线x＝－4也满足．故选A.5．设直线x＋ky－1＝0被圆O：x2＋y2＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x－y－1＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．不确定[答案]C[解析]∵直线x＋ky－1＝0过定点N(1,0)，且点N(1,0)在圆x2＋y2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M是以ON为直径的圆，圆心为P12，0，半径为12，∵点P12，0到直线x－y－1＝0的距离为2412，∴曲线M与直线x－y－1＝0相交，故选C.6．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有()A．66条B．72条C．74条D．78条[答案]B[解析]因为在圆x2＋y2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax＋by－1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.7．(2010·温州十校)在平面直角坐标系xOy中，过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的一条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P，若M为FP的中点，则|OM|－|MT|等于()A．b－aB．a－bC.a＋b2D．a＋b[答案]A[解析]如图，F′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF|－|PF′|＝2a.又M为PF的中点，∴|MF|－|OM|＝a，即|OM|＝|MF|－a.又直线PF与圆相切，∴|FT|＝OF2－OT2＝b，∴|OM|－|MT|＝|MF|－a－(|MF|－|FT|)＝|FT|－a＝b－a，故选A.8．(文)(2010·广东茂名)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是()A.－∞，14B.0，14C.－14，0D.－∞，14[答案]A[解析]由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤a＋b22＝14，故选A.(理)(2010·泰安质检)如果直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M、N两点，且M、N关于直线x＋y＝0对称，则不等式组kx－y＋1≥0kx－my≤0y≥0表示的平面区域的面积是()A.14B.12C．1D．2[答案]A[解析]∵直线y＝kx＋1与圆的两交点M、N关于直线x＋y＝0对称，∴圆心在直线x＋y＝0上，且两直线y＝kx＋1与x＋y＝0垂直，∴k＝1－k2＋－m2＝0，∴k＝1m＝－1，∴不等式组化为x－y＋1≥0x＋y≤0y≥0，表示的平面区域如图，故其面积S＝12|OA|·yB＝14.9．(文)若动圆C与圆C1：(x＋2)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－2)2＋y2＝4内切，则动圆C的圆心的轨迹是()A．两个椭圆B．一个椭圆及双曲线的一支C．两双曲线的各一支D．双曲线的一支[答案]D[解析]设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得|C1C|＝r＋1，|C2C|＝r－2，∴|C1C|－|C2C|＝3，故C点的轨迹为双曲线的一支．(理)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为()A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时[答案]B[解析]以A为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系，则A(102t,102t)，B(40,0)．当满足下列条件时，B城市处于危险区内，即(102t－40)2＋(102t)2≤302，解得2－12≤t≤2＋12，故选B.10．(2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则直线ax－by＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的概率为()A.38B.516C.58D.316[答案]B[解析]由题意知，圆心C(1,2)到直线ax－by＝0距离d1，∴|a－2b|a2＋b21，化简得3b－4a0，如图，满足直线与圆相交的点(a，b)落在图中阴影部分，E34，1，∵S矩形ABCD＝2，S梯形OABE＝14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P＝582＝516.二、填空题11．(2010·四川广元市质检)已知直线l：x－2y－5＝0与圆O：x2＋y2＝50相交于A、B两点，则△AOB的面积为______．[答案]15[解析]圆心(0,0)到直线l距离d＝5，圆半径R＝52，∴弦长|AB|＝22－5＝65，∴S△AOB＝12|AB|·d＝12×65×5＝15.12．(文)(2010·天津南开区模拟)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线OA、OB，A、B为切点，则线段AB的长为________．[答案]4[解析]圆(x－3)2＋(y－4)2＝5的圆心C(3,4)，半径为r＝5，|CO|＝5，∴切线长|OA|＝25，由12|OA|·|CA|＝12|OC|·d，得d＝2，∴弦长|AB|＝2d＝4.(理)(2010·甘肃质检)若直线2x－y＋c＝0按向量a＝(1，－1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则c的值为________．[答案]8或－2[解析]设直线2x－y＋c＝0上点P(x0，y0)，按a平移后移到点P′(x，y)，则x＝x0＋1y＝y0－1，∴x0＝x－1y0＝y＋1代入直线2x－y＋c＝0中得2x－y－3＋c＝0，此时直线与圆x2＋y2＝5相切，∴|－3＋c|5＝5，∴c＝8或－2.13．(2010·湖南文)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________；圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．[答案]－1x2＋(y－1)2＝1[解析]过P、Q两点的直线的斜率kPQ＝b－－a－－＝a＋b－3a＋b－3＝1，∴线段PQ的垂直平分线l的斜率为－1，线段PQ的中点坐标为a－b＋32，b－a＋32，∴PQ的垂直平分线l的方程为y－b－a＋32＝－x－a－b＋32，即y＝－x＋3，设圆心(2,3)关于直线l：y＝－x＋3的对称点为(a，b)，则b＋32＝－a＋22＋3b－3a－2＝1，解得a＝0b＝1，故所求的圆的方程为x2＋(y－1)2＝1.14．(2010·江苏，9)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．[答案](－13,13)[解析]由题意知，圆心O(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d1，∴|c|131，∴－13c13.三、解答题15．(2010·广东湛江)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．[解析](1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得|－k－2|k2＋1＝2，即k＝2±6，从而切线方程为y＝(2±6)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.∴所求切线的方程为y＝(2±6)xx＋y＋1＝0或x＋y－3＝0(2)由|PO|＝|PM|得，x12＋y12＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0.解方程组2x＋y＝02x－4y＋3＝0得P点坐标为－310，35.16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知长方形ABCD，AB＝22，BC＝1，以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy.(1)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；(2)过点P(0,2)的直线l交(1)中椭圆于M、N两点，判断是否存在直线l，使得以弦MN为直径的圆恰好过原点，并说明理由．[解析](1)由题意可得点A，B，C的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，(2，1)．设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则有2a＝|AC|＋|BC|＝－2－2＋－＋2－2＋－＝422，∴a＝2，b2＝a2－c2＝4－2＝2，椭圆的标准方程为x24＋y22＝1.(2)假设满足条件的直线l存在，由条件可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝kx＋2(k≠0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2