2012年高考真题汇编文科数学解析版3导数高中数学练习试题

-1-2012高考试题分类汇编：3:导数一、选择题1.【2012高考重庆文8】设函数()fx在R上可导，其导函数()fx，且函数()fx在2x处取得极小值，则函数()yxfx的图象可能是【答案】C【解析】由函数()fx在2x处取得极小值可知2x，()0fx，则()0xfx；2x，()0fx则20x时()0xfx，0x时()0xfx,选C.2.【2012高考浙江文10】设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数A.若ea+2a=eb+3b，则a＞bB.若ea+2a=eb+3b，则a＜bC.若ea-2a=eb-3b，则a＞bD.若ea-2a=eb-3b，则a＜b【答案】A【解析】若23abeaeb，必有22abeaeb．构造函数：2xfxex，则20xfxe恒成立，故有函数2xfxex在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．3.【2012高考陕西文9】设函数f（x）=2x+lnx则（）A．x=12为f(x)的极大值点B．x=12为f(x)的极小值点C．x=2为f(x)的极大值点D．x=2为f(x)的极小值点9.【答案】D.【解析】xxxfxxxf12)(',ln2)(2，令0)('xf，则2x，当20x时-2-0)('xf，当2x时0)('xf，所以2x为)(xf极小值点，故选D.4.【2012高考辽宁文8】函数y=12x2㏑x的单调递减区间为（A）（1,1]（B）（0,1]（C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）【答案】B【解析】211ln,,00,02yxxyxyxxxx由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④12.【答案】C．【解析】9123)(',96)(223xxxfabcxxxxf，令0)('xf则1x或3x，当1x时0)('xf；当31x时0)('xf；当3x时0)('xf，所以1x时)(xf有极大值，当3x时)(xf有极小值，函数)(xf有三个零点，0)3(,0)1(ff，且cba31，又abcf275427)3(，0abc，即0a，因此0)()0(aff，0)3()0(,0)1()0(ffff.故选C.6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A)1(B)3(C)4(D)8【答案】C【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由2212,,,2xyyxyx则所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为48,22,yxyx联立方程组解得1,4,xy故点A的纵坐标为4【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一-3-起，这是写出切线方程的关键。二、填空题7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点)1,1(处的切线方程为________【答案】34xy【解析】函数的导数为4ln331ln3)('xxxxxf，所以在)1,1(的切线斜率为4k，所以切线方程为)1(41xy，即34xy.8..【2012高考上海文13】已知函数()yfx的图像是折线段ABC，其中(0,0)A、1(,1)2B、(1,0)C，函数()yxfx（01x）的图像与x轴围成的图形的面积为【答案】41。【解析】,22,2)(xxxf,121,210xx，∴,22,222xxxy,121,210xx∴围成的面积12122102)22(2dxxxdxxS=2103310x+12123)5310(xx=41。三、解答题9.【2102高考北京文18】（本小题共13分）已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx。若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。【答案】10.【2012高考江苏18】（16分）若函数)(xfy在0xx处取得极大值或极小值，则称0x为函数)(xfy的极值点。-4-已知ab，是实数，1和1是函数32()fxxaxbx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数()gx的导函数()()2gxfx，求()gx的极值点；（3）设()(())hxffxc，其中[22]c，，求函数()yhx的零点个数．【答案】解：（1）由32()fxxaxbx，得2()32f'xxaxb。∵1和1是函数32()fxxaxbx的两个极值点，∴(1)32=0f'ab，(1)32=0f'ab，解得==3ab0，。（2）∵由（1）得，3()3fxxx，∴23()()2=32=12gxfxxxxx，解得123==1=2xxx，。∵当2x时，()0gx；当21x时，()0gx，∴=2x是()gx的极值点。∵当21x或1x时，()0gx，∴=1x不是()gx的极值点。∴()gx的极值点是－2。（3）令()=fxt，则()()hxftc。先讨论关于x的方程()=fxd根的情况：2,2d当=2d时，由（2）可知，()=2fx的两个不同的根为I和一2，注意到()fx是奇函数，∴()=2fx的两个不同的根为一和2。当2d时，∵(1)=(2)=20fdfdd，(1)=(2)=20fdfdd，∴一2,－1，1，2都不是()=fxd的根。由（1）知()=311f'xxx。①当2x，时，()0f'x，于是()fx是单调增函数，从而()(2)=2fxf。此时()=fxd在2，无实根。②当12x，时．()0f'x，于是()fx是单调增函数。-5-又∵(1)0fd，(2)0fd，=()yfxd的图象不间断，∴()=fxd在（1,2）内有唯一实根。同理，()=fxd在（一2，一I）内有唯一实根。③当11x，时，()0f'x，于是()fx是单调减两数。又∵(1)0fd，(1)0fd，=()yfxd的图象不间断，∴()=fxd在（一1，1）内有唯一实根。因此，当=2d时，()=fxd有两个不同的根12xx，满足12=1=2xx，；当2d时()=fxd有三个不同的根315xxx，，，满足2=3,4,5ixi，。现考虑函数()yhx的零点：(i）当=2c时，()=ftc有两个根12tt，，满足12==2tt1，。而1()=fxt有三个不同的根，2()=fxt有两个不同的根，故()yhx有5个零点。(11）当2c时，()=ftc有三个不同的根345ttt，，，满足2=3,4,5iti，。而=3,()4,=5ifxti有三个不同的根，故()yhx有9个零点。综上所述，当=2c时，函数()yhx有5个零点；当2c时，函数()yhx有9个零点。【考点】函数的概念和性质，导数的应用。【解析】（1）求出)(xfy的导数，根据1和1是函数)(xfy的两个极值点代入列方程组求解即可。（2）由（1）得，3()3fxxx，求出()gx，令()=0gx，求解讨论即可。（3）比较复杂，先分=2d和2d讨论关于x的方程()=fxd根的情况；再考虑函数()yhx的零点。11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分）-6-已知函数aaxxaxxf232131)(，x其中a0.（I）求函数)(xf的单调区间；（II）若函数)(xf在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（III）当a=1时，设函数)(xf在区间]3,[tt上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间]1,3[上的最小值。【答案】-7-12.【2012高考广东文21】（本小题满分14分）设01a，集合{|0}AxxR，2{|23(1)60}BxxaxaR，DAB.（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数32()23(1)6fxxaxax在D内的极值点.【答案】【解析】（1）令2()23(1)6gxxaxa，229(1)4893093(31)(3)aaaaaa。①当103a时，0，方程()0gx的两个根分别为213393094aaax，-8-223393094aaax，所以()0gx的解集为22339309339309(,)(,)44aaaaaa。因为12,0xx，所以DAB22339309339309(0,)(,)44aaaaaa。②当113a时，0，则()0gx恒成立，所以DAB(0,)，综上所述，当103a时，D22339309339309(0,)(,)44aaaaaa；当113a时，D(0,)。（2）2()66(1)66()(1)fxxaxaxax，令()0fx，得xa或1x。①当103a时，由（1）知D12(0,)(,)xx，因为2()23(1)6(3)0gaaaaaaa，(1)23(1)6310gaaa，所以1201axx，所以(),()fxfx随x的变化情况如下表：x(0,)aa1(,)ax2(,)x()fx0()fx↗极大值↘↗所以()fx的极大值点为xa，没有极小值点。②当113a时，由（1）知D(0,)，所以(),()fxfx随x的变化情况如下表：x(0,)aa(,1)a1(1,)-9-()fx00()fx↗极大值↘极小值↗所以()fx的极大值点为xa，极小值点为1x。综上所述，当103a时，()fx有一个极大值点xa，没有极小值点；当113a时，()fx有一个极大值点xa，一个极小值点1x。13.【2102高考福建文22】（本小题满分14分）已知函数3()sin(),2fxaxxaR且在,0,2上的最大值为32，（1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。【答案】-10-14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)已知a为正实数，n为自然数，抛物线22nayx与x轴正半轴相交于点A，设()fn为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。（Ⅰ）用a和n表示()fn；（Ⅱ）求对所有n都有()1()11fnnfnn成立的a的最小值；（Ⅲ）当01a时，比较111(1)(2)(2)(4)()(2)fffffnfn与(1)(1)6(0)(1)ffnff的大小，并说明理由。命题立意：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑-11-推理能力