2012高中数学32第3课时课时同步练习新人教A版选修21高中数学练习试题

-1-第3章3.2第3课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图，正棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝1.则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)A1B→＝(0,1，－2)，AD1→＝(－1,0,2)cos〈A1B→，AD1→〉＝A1B→·AD1→|A1B→|·|AD1→|＝－45·5＝－45∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45，故选D.答案：D2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为()A.63B.33C.23D.13解析：设正三棱锥P－ABC，PA，PB，PC两两互相垂直，设PA＝PB＝PC＝a.取AB的中点D，连结PD、CD，易知∠PDC为侧面PAB与底面ABC所成的角．易求PD＝22a，CD＝62a，-2-故cos∠PDC＝PDDC＝33.答案：B3．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为()A.176B.216C．－216D.213解析：cos〈a，n〉＝a·n|a||n|＝，2，，1，1＋4＋9·22＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216.答案：B4．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°解析：由条件，知CA→·AB→＝0，AB→·BD→＝0，CD→＝CA→＋AB→＋BD→.∴|CD→|2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2AB→·BD→＋2CA→·BD→＝62＋42＋82＋CA→，BD→＝(217)2，∴CA→，BD→＝－12，CA→，BD→＝120°，∴二面角的大小为60°.故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________．解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证AC1→是平面A1BD的一个法向量．AC1→＝(－1,1,1)，BC1→＝(－1,0,1)．-3-cos〈AC1→，BC1→〉＝1＋13×2＝63.所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为63.答案：636．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的余弦值为________．解析：取BC中点O，连结AO，DO.建立如右图所示坐标系，设BC＝1，则A0，0，32，B0，－12，0，D32，0，0.∴OA→＝0，0，32，BA→＝0，12，32，BD→＝32，12，0.由于OA→＝0，0，32为面BCD的法向量，可进一步求出面ABD的一个法向量n＝(1，－3，1)，∴cos〈n，OA→〉＝55.答案：55三、解答题(每小题10分，共20分)7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1，求直线EC1与FD1所成角的余弦值解析：以D为坐标原点，DA→，DC→，DD1→分别为x轴、y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．则有D1(0,0,2)，E(3,3,0)，F(2,4,0)，C1(0,4,2)，于是EC1→＝(－3,1,2)，FD1→＝(－2，－4,2)，设EC1→与FD1→所成的角为β，-4-则cosβ＝|EC1→·FD1→||EC1→||FD1→|＝2114，所以直线EC1与FD1所成的角的余弦值为2114.8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(0,2,2)．(1)EF→＝(－1,0,2)，易得平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，设EF→与n的夹角为θ，则cosθ＝EF→·n|EF→||n|＝255，∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为55.(2)EF→＝(－1,0,2)，DF→＝(0,2,2)，设平面DEF的一个法向量为m，则m·DF→＝0，m·EF→＝0，可得m＝(2，－1,1)，∴cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝66，∴二面角F－DE－C的余弦值为66.尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.-5-(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．解析：以A为原点，AB→，AP→分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，设PA＝a，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a,0)，C34a，34a，0，P(0,0，a)．(1)证明：AP→＝(0,0，a)，BC→＝34a，－a4，0，∴BC→·AP→＝0，∴BC⊥AP.又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点，∴D0，a2，a2，E38a，38a，a2，∴由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，-6-∵AD→＝0，a2，a2，AE→＝38a，38a，a2，∴cos∠DAE＝AD→·AE→|AD→||AE→|＝144，∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为24.(3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A－DE－P是直二面角．