数学人教A版选修22章末测试第一章导数及其应用BWord版含解析

第一章测评B(高考体验卷)(时间：90分钟满分：100分)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·课标全国Ⅱ高考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()．A．0B．1C．2D．32．(2014·陕西高考)定积分10(2x＋ex)dx的值为()．A．e＋2B．e＋1C．eD．e－13．(2013·浙江高考)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如下图所示，则该函数的图象是()4．(2014·山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()．A．22B．42C．2D．45．(2013·课标全国Ⅱ高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝06．(2013·湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln27．(2013·大纲全国高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋1x在12，＋∞是增函数，则a的取值范围是()A．[－1,0]B．[－1，＋∞)C．[0,3]D．[3，＋∞)8．(2013·福建高考)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点9．(2013·湖北高考)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．0，12C．(0,1)D．(0，＋∞)10．(2013·浙江高考)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值第Ⅱ卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．(2013·湖南高考)若0Tx2dx＝9，则常数T的值为__________．12．(2013·广东高考)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝__________.13．(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.14．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是__________．15．(2012·上海高考)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B12，5，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题6分)(2014·安徽高考)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．17．(本小题6分)(2014·课标全国Ⅰ高考)设函数f(x)＝aexlnx＋bex－1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)＞1.18．(本小题6分)(2013·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|＞1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．19．(本小题7分)(2013·福建高考)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．参考答案一、1．解析：∵y＝ax－ln(x＋1)，∴y′＝a－1x＋1.∴y′|x＝0＝a－1＝2，得a＝3.答案：D2．解析：因为(x2＋ex)′＝2x＋ex，所以10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.答案：C3．解析：由导函数图象知，函数f(x)在[－1,1]上为增函数．当x∈(－1,0)时f′(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当x∈(0,1)时f′(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B．答案：B4．解析：由y＝4x，y＝x3，解得x＝－2或x＝0或x＝2，所以直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S＝02(4x－x3)dx＝24201(2)|4xx＝2×22－14×24－0＝4.答案：D5．解析：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图象大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．答案：C6．解析：由于v(t)＝7－3t＋251＋t，且汽车停止时速度为0，因此由v(t)＝0可解得t＝4，即汽车从刹车到停止共用4s.该汽车在此期间所行驶的距离s＝407－3t＋251＋tdt＝7t－3t22＋25ln(t＋1)40|＝4＋25ln5(m)．答案：C7．解析：由条件知f′(x)＝2x＋a－1x2≥0在12，＋∞上恒成立，即a≥1x2－2x在12，＋∞上恒成立．∵函数y＝1x2－2x在12，＋∞上为减函数，∴ymax＜1122－2×12＝3.∴a≥3.故选D．答案：D8．解析：选项A，由极大值的定义知错误；对于选项B，函数f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点，故不正确；对于C选项，函数f(x)与－f(x)图象关于x轴对称，x0应是－f(x)的极小值点，故不正确；而对于选项D，函数f(x)与－f(－x)的图象关于原点成中心对称，故正确．答案：D9．解析：f′(x)＝lnx－ax＋x1x－a＝lnx－2ax＋1，函数f(x)有两个极值点，即lnx－2ax＋1＝0有两个不同的根(在正实数集上)，即函数g(x)＝lnx＋1x与函数y＝2a在(0，＋∞)上有两个不同交点．因为g′(x)＝－lnxx2，所以g(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，所以g(x)max＝g(1)＝1，如图．若g(x)与y＝2a有两个不同交点，须0＜2a＜1.即0＜a＜12，故选B．答案：B10．解析：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，∵f′(1)＝e－1≠0，∴f(x)在x＝1处不能取到极值；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，令H(x)＝xex＋ex－2，则H′(x)＝xex＋2ex＞0，x∈(0，＋∞)．说明H(x)在(0，＋∞)上为增函数，且H(1)＝2e－2＞0，H(0)＝－1＜0，因此当x0＜x＜1(x0为H(x)的零点)时，f′(x)＜0，f(x)在(x0,1)上为减函数．当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．∴x＝1是f(x)的极小值点，故选C．答案：C二、11．解析：∵13x3′＝x2，∴0Tx2dx＝13x30|T＝13T3－0＝9，∴T＝3.答案：312．解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－1x及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝12.答案：12三、13．解析：令ex＝t，则x＝lnt，∴f(t)＝lnt＋t，∴f′(t)＝1t＋1，∴f′(1)＝2.答案：214．解析：由曲线y＝ax2＋bx过点P(2，－5)，得4a＋b2＝－5.①又y′＝2ax－bx2，所以当x＝2时，4a－b4＝－72，②由①②得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.答案：－315．解析：由题意f(x)＝10x，0≤x≤12，－10x＋10，12x≤1，则xf(x)＝10x2，0≤x≤12，－10x2＋10x，12x≤1.∴xf(x)与x轴围成图形的面积为12010x2dx＋112(－10x2＋10x)dx＝103x3120|＋5x2－103x3112|＝103×18＋5－103－54－103×18＝54.答案：54三、16．分析：(1)利用导数判断函数单调性的方法，先求导，再令其等于0，求出导函数的零点，即为相应的极值点，结合导函数的开口方向从而得出导函数在相应区间的正负，从而得到原函数的单调区间．(2)讨论极值点x2在不在区间[0,1]内是问题的关键，要通过分类讨论，得出函数f(x)在[0,1]上的变化趋势，从而得出f(x)在[0,1]上的最值情况．若函数f(x)在[0,1]上有单调性，那么f(x)的最值就在区间的端点处取得．若f(x)在[0,1]上单调递增，那么f(x)在x＝0处取得最小值，在x＝1处取得最大值．若f(x)在[0,1]上单调递减，那么f(x)在x＝0处取得最大值，在x＝1处取得最小值．若函数f(x)在[0,1]上不单调，就要看能不能把区间[0,1]再细分成几部分，通过讨论函数f(x)在每一部分的单调性确定其在整个区间上的最值情况．特别要注意的是函数在区间端点处的函数值要比较大小，以确定哪一个才是最值．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a3，x2＝－1＋4＋3a3，x1＜x2.所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．当x＜x1或x＞x2时，f′(x)＜0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增．(2)因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0.①当a≥4时，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增．所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1.由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减．所以f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0＜a＜1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值；当1＜a＜4时，f(x)在x＝0处取得最小值．17．分析：(1)由已知可得f(1)＝e(1－1)＋2＝2，切线斜率k＝e＝f′(1)，由此可求出a，b.(2)由(1)可求f(x)，结合不等式的特点将之转化为g(x)＞h(x)的形式，通过比较g(x)的最小值与h(x)的最大值进行证明．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aexlnx＋axex－bx2ex－1＋bxex－1.由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2.(2)由(1)知，f(x)＝exlnx＋2xex－1，从而f(x)＞1等价于xlnx＞xe－x－2e.设函数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1＋lnx.所以当x∈0，1e时，g′(x)＜0；当x∈1e，＋∞时，g′(x)＞0.故g(x)在0，1e单调递减，在1e，＋∞单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)