江西省九江第一中学20182019学年高二上学期期末考试数学文试题解析版

江西省九江第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.“𝑎12”是“ln(2𝑎−1)0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：由ln(2𝑎−1)0得2𝑎−11，得𝑎1，即“𝑎12”是“ln(2𝑎−1)0”的必要不充分条件，故选：B．求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．2.双曲线𝑥23−𝑦26=1的渐近线方程为()A.𝑦=±2𝑥B.𝑦=±12𝑥C.𝑦=±√2𝑥D.𝑦=±√22𝑥【答案】C【解析】解：双曲线𝑥23−𝑦26=1的𝑎=√3，𝑏=√6，可得渐近线方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥，即𝑦=±√2𝑥.故选：C．由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程𝑦=±𝑏𝑎𝑥，即可得到所求方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．3.在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎3=5则{𝑎𝑛}的前5项和𝑆5=()A.7B.15C.25D.20【答案】C【解析】解：∵在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎3=5，∴𝑆5=52(𝑎1+𝑎5)=5𝑎3=25．故选：C．利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的合理运用．4.△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎sin𝐴=𝑏cos𝐵=𝑐cos𝐶，则△𝐴𝐵𝐶中最长的边是()A.aB.bC.cD.b或c【答案】A【解析】解：由𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶，可得𝑏sin𝐵=𝑏cos𝐵，𝑐cos𝐶=𝑐sin𝐶，∴𝐵=𝐶=45∘，那么𝐴=90∘．大边对应大角，可得：a最大；故选：A．根据正弦定理求解即可．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．5.已知函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=1处的切线与直线𝑥+𝑦−3=0垂直，则)A.2B.0C.1D.−1【答案】C【解析】解：由直线𝑥+𝑦−3=0的斜率为−1，函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=1处的切线与直线𝑥+𝑦−3=0垂直，可得切线的斜率𝑘=1，即则．故选：C．求得已知直线的斜率，由导数的几何意义和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，即可得到所求值．本题考查导数的几何意义，以及两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查运算能力，属于基础题．6.下列命题中正确的是()A.若𝑎𝑏，则𝑎𝑐𝑏𝑐B.若𝑎𝑏，𝑐𝑑，则𝑎−𝑐𝑏−𝑑C.若𝑎𝑏0，𝑎𝑏，则1𝑎1𝑏D.若𝑎𝑏，𝑐𝑑，则𝑎𝑐𝑏𝑑【答案】C【解析】解：𝐴.𝑐0时不成立；B.𝑎𝑏，𝑐𝑑，则𝑎+𝑐𝑏+𝑑，因此不正确；C.𝑎𝑏0，𝑎𝑏，则1𝑎1𝑏，正确．D.取𝑎=2，𝑏=−3，𝑐=3，𝑑=−3，满足条件𝑎𝑏，𝑐𝑑，但是𝑎𝑐𝑏𝑑不成立．故选：C．利用不等式的性质即可判断出结论．本题主要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为F，抛物线上一点𝑀(2,𝑚)满足|𝑀𝐹|=6，则抛物线C的方程为()A.𝑦2=2𝑥B.𝑦2=4𝑥C.𝑦2=8𝑥D.𝑦2=16𝑥【答案】D【解析】解：∵抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)，在此抛物线上一点𝑀(2,𝑚)到焦点的距离是6，∴抛物线准线方程是𝑥=−𝑝2，由抛物线的定义可得2+𝑝2=6，解得𝑝=8，∴抛物线的方程是𝑦2=16𝑥．故选：D．求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义推导出2+𝑝2=6，解得p，由此能求出抛物线的方程．本题考查抛物线方程的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的合理运用．8.函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(其中𝐴0，|𝜑|𝜋2)的部分图象如图所示，将函数𝑓(𝑥)的图象()可得𝑔(𝑥)=sin(2𝑥+𝜋4)的图象A.向右平移𝜋12个长度单位B.向左平移𝜋24个长度单位C.向左平移𝜋12个长度单位D.向右平移𝜋24个长度单位【答案】D【解析】解：由图象得𝐴=1，𝑇4=7𝜋12−𝜋3=𝜋4，即𝑇=𝜋，由𝑇=2𝜋𝜔=𝜋，则𝜔=2，即𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜑)，∵𝑓(7𝜋12)=sin(2×7𝜋12+𝜑)=−1，∴sin(7𝜋6+𝜑)=−1，即7𝜋6+𝜑=3𝜋2+2𝑘𝜋，得𝜑=3𝜋2−7𝜋6+2𝑘𝜋=𝜋3+2𝑘𝜋，∵|𝜑|𝜋2，∴当𝑘=0时，𝜑=𝜋3，则𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜋3)，𝑔(𝑥)=sin(2𝑥+𝜋4)=sin(2𝑥−𝜋3+𝜋4+𝜋3]=sin[2(𝑥−𝜋24)+𝜋3],即将函数𝑓(𝑥)的图象向右平移𝜋24个长度单位可得𝑔(𝑥)=sin(2𝑥+𝜋4)的图象，故选：D．根据三角函数的图象确定函数的解析式，进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数图象的变换，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．9.椭圆𝑥216+𝑦24=1上的点到直线𝑥+2𝑦−√2=0的最大距离是()A.3B.√11C.2√2D.√10【答案】D【解析】解：设椭圆𝑥216+𝑦24=1上的点𝑃(4cos𝜃,2sin𝜃)则点P到直线𝑥+2𝑦−√2=0的距离𝑑=|4cos𝜃+4sin𝜃−√2|√5=|4√2sin(𝜃+𝜋4)−√2|√5𝑑𝑚𝑎𝑥=|−4√2−√2|√5=√10；故选：D．设椭圆𝑥216+𝑦24=1上的点𝑃(4cos𝜃,2sin𝜃)，由点到直线𝑥+2𝑦−√2=0的距离公式，计算可得答案．本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．10.两个公比均不为1的等比数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}，其分前n项的乘积分别为𝐴𝑛，𝐵𝑛，若𝑎5𝑏5=2，则𝐴9𝐵9=()A.512B.32C.8D.2【答案】A【解析】解：因为𝐴9=𝑎1𝑎2𝑎3…𝑎9=𝑎59，𝐵9=𝑏1𝑏2𝑏3…𝑏9=𝑏59，所以则𝐴9𝐵9=(𝑎5𝑏5)9=512，故选：A．由等差数列的性质即可求出本题考查了等差数列的性质和灵活应用，是常考的题型，注意总结．11.已知A，B，C在圆𝑥2+𝑦2=1上运动，且𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，若点P的坐标为(2,0)，则|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|的最大值为()A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】解：由题意，AC为直径，所以|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|2𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|所以B为(−1,0)时，|2𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|≤7．所以|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|的最大值为7．另解：设𝐵(cos𝛼,sin𝛼)，|2𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|2(−2,0)+(cos𝛼−2,sin𝛼)|=|(cos𝛼−6,sin𝛼)|=√(cos𝛼−6)2+sin2𝛼=√37−12cos𝛼，当cos𝛼=−1时，B为(−1,0)，取得最大值7．故选：B．由题意，AC为直径，所以|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|2𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|.𝐵为(−1,0)时，|2𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|≤7，即可得出结论．本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12.已知函数𝑓(𝑥)的导函数𝑓′(𝑥)，满足𝑥𝑓′(𝑥)+2𝑓(𝑥)=1𝑥2，且𝑓(1)=1，则函数𝑓(𝑥)的最大值为()A.0B.√𝑒C.𝑒2D.2e【答案】C【解析】解：∵𝑥𝑓′(𝑥)+2𝑓(𝑥)=1𝑥2，∴𝑥2𝑓′(𝑥)+2𝑥𝑓(𝑥)=1𝑥，令𝑔(𝑥)=𝑥2𝑓(𝑥)，则𝑔′(𝑥)=𝑥2𝑓′(𝑥)+2𝑥𝑓(𝑥)=1𝑥，∵𝑓(1)=1，∴𝑔(1)=1，∴𝑔(𝑥)=1+ln𝑥，𝑓(𝑥)=1+ln𝑥𝑥2，∴𝑓′(𝑥)=−1−2ln𝑥𝑥3，∴𝑥𝑒−12时，𝑓′(𝑥)=−1−2ln𝑥𝑥30，𝑥𝑒−12时，𝑓′(𝑥)=−1−2ln𝑥𝑥30，∴当𝑥=𝑒−12时，𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥=𝑓(𝑒−12)=1+ln𝑒−12(𝑒−12)2=𝑒2．故选：C．由题意构造函数𝑔(𝑥)=𝑥2𝑓(𝑥)，可解得𝑔(𝑥)=1+ln𝑥，𝑓(𝑥)=1+ln𝑥𝑥2，利用导数判断函数𝑓(𝑥)的单调性，求得最大值即可．本题主要考查利用导数研究函数的性质，解题的关键是构造函数𝑔(𝑥)=𝑥2𝑓(𝑥)，逻辑性较强，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝑎=4，𝑏=6，𝐶=2𝜋3，则边c的长是______【答案】2√19【解析】解：∵𝑎=4，𝑏=6，𝐶=2𝜋3，∴由余弦定理可得：𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝐶=42+62−2×4×6×cos2𝜋3=2√19．故答案为：2√19．由已知利用余弦定理即可计算得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14.已知正数x，y满足𝑥+𝑦=1，则1𝑥+4𝑦的最小值是______．【答案】9【解析】解：∵正数x，y满足𝑥+𝑦=1，则1𝑥+4𝑦=(1𝑥+4𝑦)(𝑥+𝑦)=1+4+𝑦𝑥+4𝑥𝑦≥5+2√𝑦𝑥⋅4𝑥𝑦=9，当且仅当𝑥=13，𝑦=23时取等号，故则1𝑥+4𝑦的最小值是9，故答案为：9．有题意可得1𝑥+4𝑦=(1𝑥+4𝑦)(𝑥+𝑦)=1+4+𝑦𝑥+4𝑥𝑦，再利用基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握等号成立的条件，属于基础题．15.若实数x，y满足{|𝑥|−𝑦+1≤0𝑦≤2，则𝑧=𝑥+𝑦𝑥−2的最小值为______【答案】−3【解析】解：实数x，y满足{|𝑥|−𝑦+1≤0𝑦≤2，的可行域如图：𝑧=𝑥+𝑦𝑥−2=1+𝑦+2𝑥−2，几何意义是可行域内的点与𝑃(2,−2)连线的斜率，由图形可知PB的斜率最小，由{𝑥−𝑦+1=0𝑦=2，解得𝐵(1,2)，𝑧=𝑥+𝑦𝑥−2的最小值为：−3．故答案为：−3．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．16.已知抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，给出下列五个结论：①△𝑃𝑀𝑁必为直角三角形；②△𝑃𝑀𝑁必为等边三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM必与抛物线相交；⑤△𝑃𝑀𝑁的面积为𝑝2．其中正确的结论是______．【答案】①③⑤【解析】解：抛物线方程为𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)，焦点为𝐹(𝑝2,0)，则P点坐标为(−𝑝2,0)，可求出点𝑀(𝑝2,𝑝)，𝑁(𝑝2,−𝑝)，∴|𝑃𝐹|=12|𝑀𝑁|=𝑝，∴∠𝑀𝑃𝑁=90∘，故①正确，②不正确；直线PM的方程为𝑦=𝑥+𝑝2，联立{𝑦=𝑥+𝑝2𝑦2=2𝑝𝑥，整理得𝑦2−2𝑝𝑦+𝑝2=0，△=4𝑝2−4𝑝2=0，∴直线PM与抛物线相切，故③正