河北省唐山市2012届高三数学下学期第二次模拟考试试题理新人教A版高中数学练习试题

1河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试数学（理）试题说明：一、本试卷共4页，包括三道大题，24道小题，共150分，其中1．～(21)小题为必做题，(22)～(24)小题为选做题．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案，四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回，参考公式：样本数据nxxx,,,21的标准差；xxxxxxxnsn其中],)()()[(122221为样本平均数；柱体体积公式：为底面面积其中SShV,、h为高；锥体体积公式：hSShV,,31为底面面积其中为高；球的表面积、体积公式：,34,432RVRS其中R为球的半径。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知1zi=2+i，则复数z的共轭复数为A．-3-iB．-3+iC．3+iD．3-i2．261()xx的展开式中的常数项为A．－15B．15C．－20D．203．己知命题p：“ab”是“2a2b”的充要条件；q：x∈R，lx+ll≤x，则A．pq为真命题B．pq为假命题C．pq为真命题D．pq为真命题4．已知是第三象限的角，且tan=2，则sin（+4）=A．31010B．31010C．1010D．10105．设变量x、y满足1,0,220,xyxyxy则目标函数z=2x+y的最小值为2A．6B．4C．2D．326．把函数y=sin（2x-6）的图象向左平移6个单位后，所得函数图象的一条对称轴为A．x=0B．x=6C．x=—12D．x=27．执行如图所示的算法，若输出的结果y≥2，则输入的x满足A．x≤一l或x≥4B．x≤-lC．-1≤x≤4D．x≥48．已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为A．1B．43C．53D．29．奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图1、2所示，方程f（g(x）)=0、g（f(x））=0的实根个数分别为a、b，则a+b=A．14B．10C．7D．310．直线l与双曲线C：22221(0,)xyabab交于A、B两点，M是线段AB的中点，若l与OM（O是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为A．2B．3C．2D．3311．曲线y=11xx与其在点（0，一1）处的切线及直线x=1所围成的封闭图形的面积为A．1－ln2B．2－2n2C．ln2D．2ln2－112．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为A．l03cmB．10cmC．102cmD．30cm二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．函数y=1102x的定义域为。14．向圆(x一2）2+（y—23）=4内随机掷一点，则该点落在x轴下方的概率为。15．过抛物线y2=2px（p0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若|AF|=2|BF|=6，则p=。16．在△ABC中，（3),ABACCB则角A的最大值为。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知数列{}na满足：212123(31),*8nnnnNaaa.（I）求数列{}na的通项公式；（II）设3lognnabn，求12231111.nnbbbbbb18．（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（II）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X的分布列和均值．419．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（I）求证：平面EAC⊥平面PBC;（II）若二面角P-AC-E的余弦值为63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，长为21的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，2CPPD．记点P的轨迹为曲线E．（I）求曲线E的方程；（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，,OMOAOB当点M在曲线E上时，求cos,OAOB的值．21．（本小题满分12分）已知221()ln,02fxxaxa.（I）求函数f（x）的最小值；（II）（i）设0,:()();tafatfat证明（ii）若12()()fxfx，且12,xx证明：122.xxa5请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，在△ABC中，BC边上的点D满足BD=2DC，以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A，过点B作BE⊥CA于点E，BE交圆D于点F．（I）求∠ABC的度数：（II）求证：BD=4EF．23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C1的极坐标方程为p=4（cos+sin，P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足OQ=12OP，点Q的轨迹为C2。（I）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（II）已知直线l的参数方程为2cos,sinxtyt（t为参数，0≤），l与曲线C2有且只有一个公共点，求的值．24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲设f（x）=|x|+2|x-a|（a0）．（I）当a=l时，解不等式f（x）≤4；（II）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围6唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：A卷：AABCBCDDCBCBB卷：CBDACBACBADB二、填空题：（13）(lg2，＋∞)（14）16－34（15）4（16）6三、解答题：（17）解：（Ⅰ）1a1＝38(32－1)＝3，…1分当n≥2时，∵nan＝(1a1＋2a2＋…＋nan)－(1a1＋2a2＋…＋n－1an－1)＝38(32n－1)－38(32n－2－1)＝32n－1，…5分当n＝1，nan＝32n－1也成立，所以an＝n32n－1．…6分（Ⅱ）bn＝log3ann＝－(2n－1)，…7分1bnbn＋1＝1(2n－1)(2n＋1)＝12(12n－1－12n＋1)，∴1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn＋1＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n－1－12n＋1)]…10分＝12(1－12n＋1)＝n2n＋1．…12分（18）解：（Ⅰ）x-甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x-乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）．…4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p1＝38，p2＝12，两人得分均超过15分的概率分别为p1p2＝316，依题意，X～B(2，316)，P(X＝k)＝Ck2(316)k(1316)2－k，k＝0，1，2，…7分X的分布列为X0127P169256782569256…10分X的均值E(X)＝2×316＝38．…12分（19）解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…4分（Ⅱ）如图，以C为原点，DA→、CD→、CP→分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．设P(0，0，a)（a＞0），则E(12，－12，a2)，…6分CA→＝(1，1，0)，CP→＝(0，0，a)，CE→＝(12，－12，a2)，取m＝(1，－1，0)，则m·CA→＝m·CP→＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·CA→＝n·CE→＝0，即x＋y＝0，x－y＋az＝0，取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cosm，n|＝|m·n||m||n|＝aa2＋2＝63，则a＝2．…10分于是n＝(2，－2，－2)，PA→＝(1，1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cosPA→，n|＝|PA→·n|__________|PA→||n|＝23，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23．…12分（20）解：（Ⅰ）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)．由CP→＝2PD→，得(x－m，y)＝2(－x，n－y)，∴x－m＝－2x，y＝2(n－y)，得m＝(2＋1)x，n＝2＋12y，…2分由|CD→|＝2＋1，得m2＋n2＝(2＋1)2，∴(2＋1)2x2＋(2＋1)22y2＝(2＋1)2，整理，得曲线E的方程为x2＋y22＝1．…5分（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由OM→＝OA→＋OB→，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，DACEPBxyz8则x1＋x2＝－2kk2＋2，x1x2＝－1k2＋2．…7分y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋(y1＋y2)22＝1，即4k2(k2＋2)2＋8(k2＋2)2＝1，解得k2＝2．…9分这时x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x2＋x2)＋1＝－34，(x21＋y21)(x22＋y22)＝(2－x21)(2－x22)＝4－2(x21＋x22)＋(x1x2)2＝4－2[(x1＋x2)2－2x1x2]＋(x1x2)2＝3316，cosOA→，OB→＝x1x2＋y1y2(x21＋y21)(x22＋y22)＝－3311．…12分（21）解：（Ⅰ）f(x)＝x－a2x＝(x＋a)(x－a)x．…1分当x∈(0，a)时，f(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f(x)＞0，f(x)单调递增．当x＝a时，f(x)取得极小值也是最小值f(a)＝12a2－a2lna．…4分（Ⅱ）（ⅰ）设g(t)＝f(a＋t)－f(a－t)，则当0＜t＜a时，g(t)＝f(a＋t)＋f(a－t)＝a＋t－a2a＋t＋a－t－a2a－t＝2at2t2－a2＜0，…6分所以g(t)在(0，a)单调递减，g(t)＜g(0)＝0，即f(a＋t)－f(a－t)＜0，故f(a＋t)＜f(a－t)．…8分（ⅱ）由（Ⅰ），f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增，不失一般性，设0＜x1＜a＜x2，因0＜a－x1＜a，则由（ⅰ），得f(2a－x1)＝f(a＋(a－x1))＜f(a－(a－x1))＝f(x1)＝f(x2)，…11分又2a－x1，x2∈(a，＋∞)，故2a－x1＜x2，即x1＋x2＞2a．…12分（22