湖南省20182019学年邵阳市邵东县第一中学高二下学期期末考试数学试题

湖南省邵东一中2018-2019学年下学期高二年级期末考试试题数学（理）分值：150分时量：120分钟一选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题所给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的。)1、等差数列中na中，15410,7aaa，则数列na的公差为()A、1B、2C、3D、42、三角形ABC中，1,3ab，∠A=30°，则∠B等于()A、60°B、30°或150°C、60°或120°D、120°3已知命题p:彐x∈R,x2-x+1≥0,命题q:若a2b2,则ab,下列命题为真命题的是()ApqB.()pqC.pqD.()()pq4若双曲线22221xyab的一条渐近线经过点(3，—4),则此双曲线的离心率为()A73B.54C.43D.535、下列命题为真命题的个数是（）。①{|xxx是无理数｝，2x是无理数；②命题“∃x0∈R，x20＋13x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；③命题“若220xy,xRyR,则0xy”的逆否命题为真命题；④(2xxee）=2。A．1B.2C.3D.46、与圆221xy及圆22870xyx都外切的圆的圆心在（）。A．一个圆上B.一个椭圆上C.双曲线的一支上D.抛物线上7、平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若AC→′＝xAB→＋2yBC→－3zCC→′，则x＋y＋z＝()。A．1B．76C．56D．238、已知点P(x，y)的坐标满足条件11350xyxxy那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为()。A.2B．1C.95D．1159、函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，若不等式f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，且f(x)的极小值等于－196，则a的值是()。A．－8122B．13C．5D．410、设01x，a，b都为大于零的常数，则221abxx的最小值为（）。A．2()abB．2()abC.22abD．2a11、如图F1、F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为()。A．32B．12C．22D．3－112、已知函数ln(2)()xfxx，关于x的不等式2()()0fxafx只有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．1,ln23B．1ln2,ln63C．1ln2,ln63D．1ln6,ln23二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13、设曲线y＝3x－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程。14、已知(1,21,0),(2,,)attbtt，则||ba的最小值为。15、121(1||)xxdx=。16、直线l与抛物线xy82交于BA,两点，且l经过抛物线的焦点F，已知)8,8(A，则线段AB的中点到准线的距离为。三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.(本小题10分)已知数列na满足11()3nnaanN,且31a①)求1a及na；(2)设3lognanb求数列nb的前n项和nS18.(本小题12分)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.且(b-c)2=a2—3bc(I)求角A(Ⅱ)若3,1ab求角B及△ABC的面积19.(本小题12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,AA1⊥AB，AB=3，BC=5.(l)求证:AA1⊥BC(II)求二面角A1-BC1-B1的余弦值:20、（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．21.(本小题12分)已知椭圆C:22221(0)xyabab的左、右焦点分别为F1、F2且椭圆C上的点P3(1,)2到F1、F2两点的距离之和为4(I)求椭圆C的方程;(II)若直线y=kx+m与椭圆C交于M、N两点,O为坐标原点直线OM、0N的斜率之积等于14试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由22.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.(1)若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若g(x)＝ex＋x2－f(x)，当a≤2时，证明：g(x)0.参考答案一、选择题BCBDBCBADBDC二、填空题13、14、15、16、三、解答题17.(本小题10分)解：（1）nnaa211，且13a，01a，数列{na}是公比为31的等比数列，1)31(213aa，91a，31)31()31(9nnna……………………5分（2）由（1）知nbn3，11nnbb，又21b，数列}{nb是首项为2，公差为1的等差数列，252)32(2nnnnSn………………………………………………10分18.(本小题12分)解：（1）bcacb3)22（,即bcacb222在ABC中，由余弦定理得212cos222bcacbA又A0，32A……………………………………………………5分（2）在ABC中，由正弦定理得AaBbsinsin，即32sin3sin1B，21sinB，又20B，6B，6C，6sin1321ABCS43…10分19.(本小题12分)解：（1）证明：AA1C1C是边长为4的正方形，ACAA1，又ABAA1，AABAC，1AA平面ABC，AA1⊥BC………………………4分（2）在ABC中，有222BCACAB，ACAB分别以1,,AAACAB为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系)0,0,3(),4,4,0(),4,0,0(11BCA，)4,0,3(),0,4,0(111BACA，设平面11BCA的法向量为),,(1111zyxn，则04304111zxy，取41x，则)3,0,4(1n，同理得平面11BBC的法向量)0,3,4(2n设二面角111BBCA的平面角为，则2516||||cos2121nnnn……………10分20、解：(1)∵x＝5时，y＝11，∴2a＋10＝11，∴a＝2，------------------3(2)由(1)知该商品每日的销售量y＝x－32＋10(x－6)2，[]∴商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝2＋10(x－3)(x－6)2，3x6.------------------6f′(x)＝30(x－4)(x－6)，------------------8令f′(x)＝0，得x＝4.当3x4时，f′(x)0，函数f(x)在(3，4)上递增；当4x6时，f′(x)0，函数f(x)在(4，6)上递减，------------------10[]∴当x＝4时，函数f(x)取得最大值f(4)＝42.------------------11∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．-------12yzx21.(本小题12分)解：（1）由已知42a2a，又点)23,1(P在椭圆上，1234122b）（，12b，故椭圆方程为1422yx……………4分（2）设),(),,(2211yxNyxM，由1422yxmkxy得：0)1(48)4122mmkxk（△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞01+4k2﹣m2＞0且∵直线OM，ON的斜率之积等于41，,即：14222km又O到直线MN的距离为，，所以OMNS（定值）22．【解析】(1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)，f′(x)＝2x2＋2ax＋1x＋a方程2x2＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝4a2－8.(ⅰ)若Δ0，即－2a2，在f(x)的定义域内f′(x)0，故f(x)单调递增．(ⅱ)若Δ＝0，则a＝2或a＝－2.若a＝2，x∈(－2，＋∞)，f′(x)＝（2x＋1）2x＋2.当x＝－22时，f′(x)＝0，当x∈－2，－22∪－22，＋∞时，f′(x)0，所以f(x)单调递增．若a＝－2，x∈(2，＋∞)，f′(x)＝（2x－1）2x－20，f(x)单调递增．(ⅲ)若Δ0，即a2或a－2，则2x2＋2ax＋1＝0有两个不同的实根x1＝－a－a2－22，x2＝－a＋a2－22.当a－2时，x1－a，x2－a，从而f′(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)单调递增．当a2时，x1－a，x2－a，f′(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，即f(x)在定义域上不单调．综上：实数a的取值范围为a≤2.6分(2)因为g(x)＝ex＋x2－f(x)＝ex－ln(x＋a)，当a≤2，x∈(－a，＋∞)时，ln(x＋a)≤ln(x＋2)，故只需证明当a＝2时，g(x)0.当a＝2时，函数g′(x)＝ex－1x＋2在(－2，＋∞)上单调递增，又g′(－1)0，g′(0)0，故g′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，且x0∈(－1，0)，当x∈(－2，x0)时，g′(x)0，当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)0，从而当x＝x0时，g(x)取得最小值g(x0)．由g′(x0)＝0得ex0＝1x0＋2，ln(x0＋2)＝－x0，故g(x0)＝ex0－ln(x0＋2)＝1x0＋2＋x0＝x20＋2x0＋1x0＋2＝（x0＋1）2x0＋20，所以g(x)≥g(x0)0.综上，当a≤2时，g(x)0.12分