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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 第3章314同步练习高中数学练习试题
1高中数学人教A版选2-1同步练习1.已知{a,b,c}是空间向量的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是()A.aB.bC.a+2bD.a+2c解析:选D.∵a+2c,a+b,a-b为不共面向量,∴a+2c与p、q能构成一个基底.2.空间四边形OABC中,OA→=a,OB→=b,OC→=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则MN→为()A.12a-23b+12cB.-23a+12b+12cC.12a+12b-23cD.23a+23b-12c解析:选B.MN→=MA→+AB→+BN→=13OA→+OB→-OA→+12(OC→-OB→)=-23OA→+12OB→+12OC→=-23a+12b+12c.3.在如图所示的正方体中,各棱长为1,写出下列各向量的坐标:(1)OB→=_______________________________________________________,OB′→=________________________________________________________;(2)OA′→=_________________________________________________,OC′→=_________________________________________________________.答案:(1)(1,1,0)(1,1,1)(2)(1,0,1)(0,1,1)24.已知a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,且d=αa+βb+γc,则α+β+γ=__________.解析:由已知d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3.所以α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.答案:3[A级基础达标]1.下列说法中正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等解析:选C.A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项中,空间基底有无数个;D项中因为基底不惟一,所以D错.故选C.2.O、A、B、C为空间四点,且向量OA→,OB→、OC→不能构成空间的一个基底,则()A.OA→、OB→、OC→共线B.OA→、OB→共线C.OB→、OC→共线D.O、A、B、C四点共面解析:选D.由OA→、OB→、OC→不能构成基底知OA→、OB→、OC→三向量共面,所以O、A、B、C四点共面.3.如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为一定点,O为平面ABC外任一点,则下列能表示向量OP→的为()A.OA→+2AB→+2AC→B.OA→-3AB→-2AC→C.OA→+3AB→-5AC→D.OA→+2AB→-3AC→解析:选C.连接AP(图略).根据A、B、C、P四点共面的条件即可求得:AP→=xAB→+yAC→.即OP→=OA→+xAB→+yAC→,由图知x=3,y=-5.34.设a、b、c是三个不共面向量,现从①a+b,②a-b,③a+c,④b+c,⑤a+b-c中选出一个使其与a、b构成空间向量的一个基底,则可以选择的向量为__________.(填写代号)解析:根据基底的定义,∵a,b,c不共面,∴a+c,b+c,a+b-c都能与a,b构成基底.答案:③④⑤5.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为AA1,B1C的中点,若记AB→=a,AC→=b,AA1→=c,则DE→=__________(用a,b,c表示).解析:连接A1E、A1C(图略).DE→=DA1→+A1E→=12AA1→+12(A1B1→+A1C→)=12AA1→+12(AB→+AC→-AA1→)=12c+12(a+b-c)=12a+12b.答案:12a+12b6.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F分别为BB1和DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出DB1→,DE→,DF→的坐标.解:设x、y、z轴的单位向量分别为e1、e2、e3,其方向与各轴上的正方向相同,则DB1→=DA→+AB→+BB1→=2e1+2e2+2e3,∴DB1→=(2,2,2).∵DE→=DA→+AB→+BE→=2e1+2e2+e3,∴DE→=(2,2,1).∵DF→=e2,∴DF→=(0,1,0).[B级能力提升]7.设命题p:a、b、c是三个非零向量;命题q:{a,b,c}为空间的一个基底,则命题p是命题q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,则a、b、c不共面,所以a、b、c必须4均为非零向量,即q⇒p,但三个非零向量未必可以构成基底.8.若向量MA→,MB→,MC→的起点M和终点A,B,C互不重合且无三点共线,则能使向量MA→、MB→、MC→成为空间一组基底的关系是()A.OM→=13OA→+13OB→+13OC→B.MA→=MB→+MC→C.OM→=OA→+OB→+OC→D.MA→=2MB→-MC→解析:选C.对于选项A,由结论OM→=xOA→+yOB→+zOC→(x+y+z=1)⇔M,A,B,C四点共面知,MA→,MB→,MC→共面;对于B,D选项,易知MA→、MB→、MC→共面,故只有选项C中MA→、MB→、MC→不共面.9.在正方体ABCDA1B1C1D1中,用AC→,AB1→,AD1→作为基向量,则AC1→=________.解析:AC1→=AA1→+A1B1→+B1C1→=AA1→+AB→+AD→=12[(AA1→+AB→)+(AA1→+AD→)+(AB→+AD→)]=12(AB1→+AD1→+AC→)=12AC→+12AB1→+12AD1→.答案:12AC→+12AB1→+12AD1→10.如图,正方体ABCD-A′B′C′D′中,点E是上底面A′B′C′D′的中心,求下列各式中的x、y、z的值:(1)BD′→=xAD→+yAB→+zAA′→;(2)AE→=xAD→+yAB→+zAA′→.解:(1)∵BD′→=BD→+DD′→=BA→+AD→+DD′→=-AB→+AD→+AA′→,5又BD′→=xAD→+yAB→+zAA′→,∴x=1,y=-1,z=1.(2)∵AE→=AA′→+A′E→=AA′→+12A′C′→=AA′→+12()A′B′→+A′D′→=12AD→+12AB→+AA′→,又AE→=xAD→+yAB→+zAA′→.∴x=12,y=12,z=1.11.(创新题)已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}为空间的另一个基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),试求向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标.解:设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc.又∵p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),即p=a+2b+3c,∴(x+y)a+(x-y)b+zc=a+2b+3c,∴x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=32,y=-12.z=3.∴p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是32,-12,3.
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