高中人教A版数学必修4第31课时简单的三角恒等变换Word版含解析

第31课时简单的三角恒等变换课时目标1.能够利用半角公式进行化简．2．了解和差化积与积化和差公式，以及它与两角和与差公式的内在联系．3．了解y＝asinx＋bcosx的函数的变换，并会求形如y＝asinx＋bcosx的函数的性质．识记强化1．半角公式：sin2α2＝1－cosα2，sinα2＝±1－cosα2cos2α2＝1＋cosα2，cosα2＝±1＋cosα2tan2α2＝1－cosα1＋cosα，tanα2＝±1－cosα1＋cosα根号前符号，由α2所在象限三角函数符号确定．2．辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.课时作业一、选择题1．已知cosθ＝－14(－180°θ－90°)，则cosθ2＝()A．－64B.64C．－38D.38答案：B解析：因为－180°θ－90°，所以－90°θ2－45°.又cosθ＝－14，所以cosθ2＝1＋cosθ2＝1－142＝64，故选B.2．已知α∈－π2，0，cosα＝45，则tanα2＝()A．3B．－3C.13D．－13答案：D解析：因为α∈－π2，0，且cosα＝45，所以α2∈－π4，0，tanα2＝－1－cosα1＋cosα＝－1－451＋45＝－13，故选D.3．在△ABC中，若B＝45°，则cosAsinC的取值范围是()A．[－1,1]B.2－24，2＋24C.－1，2＋24D.24，2＋24答案：B解析：在△ABC中，B＝45°，所以cosAsinC＝12[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝24－12sin(A－C)，因为－1≤sin(A－C)≤1，所以2－24≤cosAsinC≤2＋24，故选B.4．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝45，且α是第二象限角，则tanπ4＋α等于()A．7B．－7C.17D．－17答案：C解析：∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝45，∴cosα＝－45.又α是第二象限角，∴sinα＝35，则tanα＝－34.∴tanπ4＋α＝tanπ4＋tanα1－tanπ4tanα＝1－341＋34＝17.5．函数f(x)＝sin2xcosx1－sinx的值域为()A.－12，＋∞B.－12，4C.－12，4D.－12，4答案：B解析：f(x)＝2sinxcos2x1－sinx＝2sinx1－sin2x1－sinx＝2sinx＋2sin2x，又－1≤sinx1，∴f(x)∈－12，4.故选B.6．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2C2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形答案：B解析：sinAsinB＝1＋cosC22sinAsinB＝1－cos(π－A－B)cosAcosB＋sinAsinB＝1cos(A－B)＝1A＝B∴是等腰三角形．二、填空题7．若3sinx－3cosx＝23sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ等于________．答案：－π6解析：3sinx－3cosx＝23sinx－π6，所以φ＝－π6.8．已知sinπ6＋α＝23，则cos2π6－α2＝________.答案：56解析：因为cosπ3－α＝sinπ2－π3－α＝sinπ6＋α＝23.所以cos2π6－α2＝1＋cosπ3－α2＝1＋232＝56.9．在△ABC中，若3cos2A－B2＋5sin2A＋B2＝4，则tanAtanB＝________.答案：14解析：因为3cos2A－B2＋5sin2A＋B2＝4，所以32cos(A－B)－52cos(A＋B)＝0，所以32cosAcosB＋32sinAsinB－52cosAcosB＋52sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝14.三、解答题10．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝45，sinβ＝1213，求cosα－β2.解：∵α为钝角，β为锐角，sinα＝45，sinβ＝1213，∴cosα＝－35，cosβ＝513.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－35×513＋45×1213＝3365.又∵π2απ，0βπ2，∴0α－βπ，0α－β2π2.∴cosα－β2＝1＋cosα－β2＝76565.11．已知sin(2α＋β)＝5sinβ.求证：2tan(α＋β)＝3tanα.证明：由条件得sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]，两边分别展开得sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα.整理得：4sin(α＋β)cosα＝6cos(α＋β)sinα.两边同除以cos(α＋β)cosα得：2tan(α＋β)＝3tanα.能力提升12．要使3sinα＋cosα＝4m－64－m有意义，则应有()A．m≤73B．m≥－1C．m≤－1或m≥73D．－1≤m≤73答案：D解析：3sinα＋cosα＝232sinα＋12cosα＝2sinα＋π6＝4m－64－m，所以sinα＋π6＝2m－34－m，由于－1≤sinα＋π6≤1，所以－1≤2m－34－m≤1，所以－1≤m≤73.13．已知函数f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若π4απ2，且f(α)＝－5213，求sin2α的值．解：(1)因为f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x，所以f(x)＝sin2x－sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4，所以函数f(x)的最小正周期是π.(2)f(α)＝－5213，即2sin2α＋π4＝－5213，sin2α＋π4＝－513.因为π4απ2，所以3π42α＋π45π4，所以cos2α＋π4＝－1213，所以sin2α＝sin2α＋π4－π4＝22sin2α＋π4－22cos2α＋π4＝22×－513－22×－1213＝7226.