高中数学人教版必修5配套练习25等比数列的前n项和第1课时

第二章2.5第1课时一、选择题1．设等比数列{an}的前n项和Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于()A．210＋2B．29－2C．210－2D．211－2[答案]D[解析]∵q＝a2a1＝2，∴S10＝21－2101－2＝2(210－1)＝211－2，选D．2．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，则a的值为()A．3B．0C．－1D．任意实数[答案]C[解析]S1＝a1＝3＋a，S2－S1＝a2＝32＋a－3－a＝6，S3－S2＝a3＝33＋a－32－a＝18，186＝63＋a，所以a＝－1.3．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为()A．－12B．12C．1或－12D．－1或12[答案]C[解析]当q＝1时，S3＝3a1＝3a3符合题意；当q≠1时，S3＝a11－q31－q＝3a1q2.∵a1≠0，∴1－q3＝3q2(1－q)．由1－q≠0，两边同时约去1－q，得1＋q＋q2＝3q2，即2q2－q－1＝0，解得q＝－12.综上，公比q＝1，或q＝－12.4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C．323(1－4－n)D．323(1－2－n)[答案]C[解析]∵a5a2＝q3＝18，∴q＝12.∴an·an＋1＝4·(12)n－1·4·(12)n＝25－2n，故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝81－14n1－14＝323(1－4－n)．5．(2014·大纲全国卷文，8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31B．32C．63D．64[答案]C[解析]解法1：由条件知：an0，且a1＋a2＝3，a1＋a2＋a3＋a4＝15，∴a11＋q＝3，a11＋q＋q2＋q3＝15，∴q＝2.∴a1＝1，∴S6＝1－261－2＝63.解法2：由题意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即122＝3(S6－15)，∴S6＝63.6．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是()A．7B．9C．63D．7或63[答案]D[解析]由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(21－S10)2＝S10(49－21)，∴S10＝7或63.二、填空题7．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．[答案]127[解析]设数列{an}的公比为q(q0)，则有a5＝a1q4＝16，∴q＝2，数列的前7项和为S7＝a11－q71－q＝1－271－2＝127.8．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________.[答案]5[解析]由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得a12n－1＝93，a1·2n－1＝48⇒2n＝32⇒n＝5.三、解答题9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.[解析](1)由题设，知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，解得d＝1，或d＝0(舍去)．故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2n1－2＝2n＋1－2.10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.[解析](1)∵S1，S3，S2成等差数列，2S3＝S1＋S2，∴q＝1不满足题意．∴2a11－q31－q＝a1＋a11－q21－q，解得q＝－12.(2)由(1)知q＝12，又a1－a3＝a1－a1q2＝34a1＝3，∴a1＝4.∴Sn＝4[1－－12n]1＋12＝83[1－(－12)n].一、选择题1．若等比数列{an}各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5的值为()A．21B．42C．63D．84[答案]D[解析]∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1(1＋q＋q2)＝21，又∵a1＝3，∴1＋q＋q2＝7，∵an0，∴q0，∴q＝2，∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84.2．等比数列{an}中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为()A．2B．－2C．2或－2D．2或－1[答案]C[解析]S4＝1，S8＝S4＋q4·S4＝1＋q4＝17∴q＝±2.3．在各项为正数的等比数列中，若a5－a4＝576，a2－a1＝9，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值是()A．1061B．1023C．1024D．268[答案]B[解析]由a4(q－1)＝576，a1(q－1)＝9，∴a4a1＝q3＝64，∴q＝4，∴a1＝3，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3×45－14－1＝1023.4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()A．152B．314C．334D．172[答案]B[解析]{an}是正数组成的等比数列，∴a3＝a2a4＝1，又S3＝7，∴a1q2＝1a11－q31－q＝7，消去a1得，q2＋q＋1q2＝7，解之得q＝12，∴a1＝4，∴S5＝4×1－1251－12＝314.二、填空题5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.[答案]3[解析]若q＝1时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然S6≠4S3，故q≠1，∴a11－q61－q＝4·a11－q31－q，∴1＋q3＝4，∴q3＝3.∴a4＝a1q3＝3.6．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.[答案]2[解析]由题意，得S奇＋S偶＝－240S奇－S偶＝80，解得S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝S偶S奇＝－160－80＝2.三、解答题7．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝72，首项a1＝12.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析](1)由已知S3＝a1＋a2＋a3＝72，12＋12q＋12q2＝72.q2＋q－6＝0，(q＋3)(q－2)＝0q＝2或q＝－3.(舍)∴an＝a1·qn－1＝2n－2.(2)bn＝6n－61＋log22n－2＝6n－61＋n－2＝7n－63.bn－bn－1＝7n－63－7n＋7＋63＝7，∴数列{an}是等差数列．又b1＝－56，∴Tn＝nb1＋12n(n－1)×7＝－56n＋12n(n－1)×7＝72n2－1192n.8．(2014·北京文，15)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝a4－a13＝12－33＝3.所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝b4－a4b1－a1＝20－124－3＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1，从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．数列{3n}的前n项和为32n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×1－2n1－2＝2n－1.所以，数列{bn}的前n项和为32n(n＋1)＋2n－1.