高中数学分章节训练试题40立体几何与空间向量2高中数学练习试题

第1页共6页高三数学章节训练题40《立体几何与空间向量2》时量：60分钟满分：80分班级：姓名：计分：个人目标：□优秀（70’~80’）□良好（60’～69’）□合格（50’～59’）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④2.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④3.在三棱柱111ABCABC中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面11BBCC的中心，则AD与平面11BBCC所成角的大小是()A．30B．45C．60D．904.设,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若,l，则lB．若//,//l，则lC．若,//l，则lD．若//,l，则l5.下左图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．10πB．12πC．13πD．14πo6.如上右图，四个正方体图形中，AB，为正方体的两个顶点，MNP，，分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）．A．①④B.②④C.①③④D.①③中学高.考.资.源.网二、解答题：（本大题共5小题，每小题10分,满分50分）1.如图，在直三棱柱111ABCABC中，E、F分别是1AB、1AC的中点，点D在11BC上，11ADBC。求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面1AFD平面11BBCC.俯视图正(主)视图侧(左)视图2322第2页共6页2.如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱//12EFBC．（1）证明FO//平面CDE；（2）设3BCCD，证明EO平面CDF．3.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（1）证明：AB=AC（2）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小4．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB．以BD的PA中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成角的正切值；（3）求点O到平面ABM的距离．5.已知：四棱柱1111DCBAABCD的三视图如下⑴画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的体积⑵若E为1AA上一点，//EB平面CDA1，试确定E点位置，并证明EB平面DCAB11OAPBCMD2122BA1AD1DBB1AA1ADCACBA1B1C1DE第3页共6页高三数学章节训练题40《立体几何与空间向量2》答案一、选择题1.【答案】D【解析】①错,②正确,③错,④正确.故选D2.【解析】选D.3.【答案】：C【解析】取BC的中点E，则AE面11BBCC，AEDE，因此AD与平面11BBCC所成角即为ADE，设ABa，则32AEa，2aDE，即有0tan3,60ADEADE．4.【答案】．C．【解析】对于A、B、D均可能出现//l，而对于C是正确的．5.【答案】B【解析】：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为22411221312.S。6.【答案】D【解析】：①取前面棱的中点，证AB平行平面MNP即可；③可证AB与MP平行二、填空题1（2009江苏卷）如图，在直三棱柱111ABCABC中，E、F分别是1AB、1AC的中点，点D在11BC上，11ADBC。求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面1AFD平面11BBCC.2.如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱//12EFBC．证明FO//平面CDE；（1）设3BCCD，证明EO平面CDF．俯视图正(主)视图侧(左)视图2322第4页共6页证明：（Ⅰ）取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，1//2OMBC，又1//2EFBC，则//OMEF，中学学连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.//FOEM又FO平面CDE，EM平面CDE，∴FO∥平面CDE（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，,CMDMEMCD且3122EMCDBCEF.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而FMCDM，所以EO⊥平面CDF.高3.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取BC中点F，通过证明AF⊥平面BCC1,再证AF为BC的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形AFED是正方形可证平面DEF⊥平面BDC，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF121BB，从而EFDA。连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面1BCC，故AF⊥平面1BCC，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..设AC=2，则AG=23。又AB=2，BC=22，故AF=2。由ABADAGBD得2AD=222.23AD，解得AD=2。故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。连接CH，则∠ECH为1BC与平面BCD所成的角。因ADEF为正方形，AD=2，故EH=1，又EC=112BC=2，所以∠ECH=300，即1BC与平面BCD所成的角为300.解法二：（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的ACBA1B1C1DE第5页共6页直角坐标系A—xyz。设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则1B（1，0，2c）,E（12，2b，c）.于是DE=（12，2b，0），BC=（-1，b,0）.由DE⊥平面1BCC知DE⊥BC，DEBC=0，求得b=1，所以AB=AC。（Ⅱ）设平面BCD的法向量(,,),ANxyz则0,0.ANBCANBD又BC=（-1，1，0），BD=（-1，0，c）,故00xyxcz令x=1,则y=1,z=1c,AN=(1,1,1c).又平面ABD的法向量AC=（0，1，0）由二面角CBDA为60°知，ACAN，=60°，故60cosACANACAN°，求得21c于是），，（211AN，），，211(1CB21cos111CBANCBANCBAN，，601CBAN，°所以CB1与平面BCD所成的角为30°4．（2009江西卷文）（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离．解：方法（一）：（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以PNM就是PC与平面ABM所成的角，且PNMPCDtantan22PDPNMPCDDC所求角为arctan22（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.OAPBCMDONAPBCMDzxy2122BA1AD1DBB1AA1ADC第6页共6页因为在Rt△PAD中，4PAAD，PDAM，所以M为PD中点，22DM，则O点到平面ABM的距离等于2。5.已知：四棱柱1111DCBAABCD的三视图如下⑴画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的体积⑵若为1AA上一点，//EB平面CDA1，试确定E点位置，并证明EB平面DCAB11解：⑴2622221211AASVABCD⑵作//EFAD交DA1于F，连CF，则BCFE共面DCABBEBEADBBAAADABADAAADABBEABEBABBBABABAEAEABBBAAAAEADBCEFBCFEBCEFCFBECDAEB1111111111112,221//////平面平面又中，在矩形中点为为平行四边形又平面EEBCB1C1A1D1D1DA1AFEBCB1C1A1D1D1DA1A