高二数学人教A必修5练习第一章解三角形章末复习课Word版含解析

第一章章末复习课课时目标1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、选择题1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则B等于()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对答案C解析sinB＝b·sinAa＝22，且ba，∴B＝45°.2．在△ABC中，已知cosAcosBsinAsinB，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案C解析cosAcosBsinAsinB⇔cos(A＋B)0，∴A＋B90°，∴C90°，C为钝角．3．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，0)C.－12，0D.12，＋∞答案D解析由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m0)，∵a＋bca＋cb即m2k＋12mk3mkmk＋1，∴k12.4．如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(βα)．则A点离地面的高AB等于()A.asinαsinβsinα－βB.asinαsinβcosα－βC.asinαcosβsinα－βD.acosαcosβcosα－β答案A解析设AB＝h，则AD＝hsinα，在△ACD中，∵∠CAD＝α－β，∴CDsinα－β＝ADsinβ.∴asinα－β＝hsinαsinβ，∴h＝asinαsinβsinα－β.5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为2203，那么BC的长度为()A．25B．51C．493D．49答案D解析S△ABC＝12AC·AB·sin60°＝12×16×AB×32＝2203，∴AB＝55.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝552＋162－2×16×55×12＝2401.∴BC＝49.6．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°答案A解析由sinC＝23sinB，根据正弦定理，得c＝23b，把它代入a2－b2＝3bc得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b22b·23b＝6b243b2＝32.又∵0°A180°，∴A＝30°.二、填空题7．三角形两条边长分别为3cm,5cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.答案6解析由5x2－7x－6＝0，解得x1＝－35，x2＝2.∵x2＝21，不合题意．∴设夹角为θ，则cosθ＝－35，得sinθ＝45，∴S＝12×3×5×45＝6(cm2)．8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则asinA＝____________.答案2393解析由S＝12bcsinA＝12×1×c×32＝3，∴c＝4.∴a＝b2＋c2－2bccosA＝12＋42－2×1×4cos60°＝13.∴asinA＝13sin60°＝2393.9．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是______________．答案2x22解析因为三角形有两解，所以asinBba，即22x2x，∴2x22.10．一艘船以20km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于________km.答案202解析如图所示，BCsin45°＝ACsin30°∴BC＝ACsin30°×sin45°＝2012×22＝202(km)．三、解答题11．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．解由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，∴A＝π3.又sinA＝2sinBcosC．∴a＝2b·a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－c2a，∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．12．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．(1)求最大角的余弦值；(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．解(1)设这三个数为n，n＋1，n＋2，最大角为θ，则cosθ＝n2＋n＋12－n＋222·n·n＋10，化简得：n2－2n－30⇒－1n3.∵n∈N*且n＋(n＋1)n＋2，∴n＝2.∴cosθ＝4＋9－162×2×3＝－14.(2)设此平行四边形的一边长为a，则夹θ角的另一边长为4－a，平行四边形的面积为：S＝a(4－a)·sinθ＝154(4a－a2)＝154[－(a－2)2＋4]≤15.当且仅当a＝2时，Smax＝15.能力提升13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．解(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－14，0Cπ，∴sinC＝104.(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理asinA＝csinC，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－14及0Cπ，得cosC＝±64.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±6b－12＝0(b0)，解得b＝6或26，∴b＝6，c＝4或b＝26，c＝4.14．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．解设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理有AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即142＝x2＋102－20xcos60°，∴x2－10x－96＝0，∴x＝16(x＝－6舍去)，即BD＝16.在△BCD中，由正弦定理BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，∴BC＝16sin30°sin135°＝82.1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程．2．应用正、余弦定理解应用题时，要注意先画出平面几何图形或立体图形，再转化为解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解．