高二数学第二学期期末考试模拟卷

海量资源尽在星星文库：高二数学第二学期期末考试模拟卷数学试题一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，计40分)1．设34)1(6)1(4)1(234xxxxS，则S等于（A）A．x4B．x4+1C．(x-2)4D．x4+42．从1,2,…,9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（C）A．95B．94C．2111D．21103．已知自由落体运动的速率gtv，则落体运动从0t到0tt所走的路程为（C）A．320gtB．20gtC．220gtD．620gt4．若nxx)13(3)(Nn展开式中含有常数项，则n的最小值是（A）A．4B．3C．12D．105．设随机变量~(0,1)N，记)()(xPx，则(11)P等于(A)A．2(1)1B．2(1)1C．(1)(1)2D．(1)(1)6．如果复数ZaiZ322满足条件||,那么实数a的取值范围是（D）A．(,)2222B．(,)22C．(,)11D．(,)337．已知复数ZabiZbaiab12,(其中、都是实数，且ab0），在复平面内，Z1、Z2所对应的点与原点组成的三角形是（C）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形8．在下列四个命题中：①已知A、B、C、D是空间的任意四点，则0DACDBCAB；②若{cba,,}为空间的一组基底，则{accbba,,}也构成空间的一组基底；③|||||||)(|cbacba；④对于空间的任意一点O和不共线的三点A、B、C，若海量资源尽在星星文库：（其中Rzyx,,），则P、A、B、C四点共面．其中正确的个数是（B）A．3B．2C．1D．0二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，计30分)9．若以连续投掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在直线x+y=5下方的概率是61奎屯王新敞新疆10．已知△ABC，A(1,1)，B(2,3)，C(3,－1)，在矩阵21212121作用所得到的图形围成的面积是___________.11．设)()11()11()(Nniiiinfnn，则集合)(nfxx中元素的个数是3.12．曲线1,0,2yxxy，所围成的图形的面积可用定积分表示为dxx102)1(．13．已知3412M，1314N，则满足方程NMX的二阶方阵X=1512914．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为、，则,1coscos22若把它推广到长方体ABCD—A1B1C1D1中，试写出相应命题形式：若长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1与BA1，BB1，BC所成的角分别为,,，则1coscoscos222。.DCBAD1C1CDABA1B1海量资源尽在星星文库：三、解答题(共90分)15．设虚数z1,z2，满足221zz.（1）若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z1,z2．（2）若z1=1+mi(i为虚数单位，m∈R),2||1z,复数w=z2+3,求|w|的取值范围．解：(1)∵z1,z2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，可设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0),则z2=a－bi,由221zz得(a+bi)2=a－bi即：a2－b2+2abi=a－bi根据复数相等，bababa222∵b≠0解得：2321ba或2321ba，∴iziz2321232121或iziz2321232121．(2)由于221zz，z1=1+mi,w=z2+3,∴w=(1+mi)2+3=4－m2+2mi.∴12)2(4)4(||22222mmmw,由于2|z|1且m≠0,可解得0m2≤1,令m2=u,12)2(||2uw,在u∈(0,1)上，(u－2)2+12是减函数，∴)4,13[||w.16．函数数列)(xfn满足：)0(1)(21xxxxf，)]([)(11xffxfnn(1)求)(),(32xfxf；(2)猜想)(xfn的表达式，并证明你的结论。海量资源尽在星星文库：解：⑴221111221)(1)())(()(xxxfxfxffxf…………2’222221331)(1)())(()(xxxfxfxffxf…………2’⑵猜想：)(1)(2Nnnxxxfn……………………3’下面用数学归纳法证明：①当n=1时，211)(xxxf，已知，显然成立………………1’②假设当)(NKKn时，猜想成立，即21)(kxxxfk则当1Kn时，2222211)1(1)1(11)(1)())(()(xkxkxxkxxxfxfxffxfkkkk……3’即对1Kn时，猜想也成立。结合①②可知：猜想21)(nxxxfn对一切Nn都成立。………………2’17．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内.（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解：（1）C52A54=1200（种）……4分（2）A55-1=119（种）……8分海量资源尽在星星文库：（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：2C52=20种∴满足条件的放法数为：1+10+20=31（种）……14分18．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（Ⅱ）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1―EF―A的余弦值以及BA1与面C1EF所成的角的大小．解：（1）以A为原点，直线AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，且xDF，则)0,1,0(),0,0,1(),000()1,0,0(1DBAA，，，)0,1,(),0,21,1()1,1,0(),1,0,1(11xFEDB于是)0,1,(),1,0,1(),1,21,1(11xAFABED由AFEDABEDFABED11111且面于是00111AFEDABED与，可解得21x所以当点F是CD的中点时，FABED11平面（2）当FABED11平面时，F是CD的中点，)0,1,21(F平面AEF的一个法向量为)1,0,0(m而在平面C1EF中，)0,21,21(),1,21,0(1EFEC所以平面C1EF的一个法向量为)1,2,2(n31,cosnm，31arccos,nm又因为当把m,n都移向这个二面角内一点时，m背向平面AEF，而n指向平面C1EF故二面角C1―EF―A的大小为31arccosD1C1B1A1DCBAEF海量资源尽在星星文库：又)1,0,1(1BA,nBA,cos122,所以01135,nBABA1与平面C1EF所成的角的大小为045．19．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记xyx2．（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）x、y可能的取值为1、2、3，12x，2xy，3，且当3,1yx或1,3yx时，3因此，随机变量的最大值为3．有放回抽两张卡片的所有情况有933种，92)3(P．答：随机变量的最大值为3，事件“取得最大值”的概率为92．（Ⅱ）的所有取值为3,2,1,0．0时，只有2,2yx这一种情况，1时，有1,1yx或1,2yx或3,2yx或3,3yx四种情况，2时，有2,1yx或2,3yx两种情况．91)0(P，94)1(P，92)2(P．则随机变量的分布列为：0123P91949292海量资源尽在星星文库：因此，数学期望914923922941910E．20．当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；（3）第n年时，兔子数量nR用表示，狐狸数量用nF表示；（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有1000R只，狐狸数量有300F只。请用所学知识解决如下问题：（1）列出兔子与狐狸的生态模型；（2）求出nR、nF关于n的关系式；（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。解：⑴)1(85.01.015.01.11111nFRFFRRnnnnnn……………………4’⑵设nnnFR，1.01.1M85.015.0∴)(21nnnMMM=……=nM又矩阵M的特征多项式1.01.1)(f85.015.0=)95.0)(1(95.095.12令0)(f得：95.0,121特征值11对应的一个特征向量为231特征值95.02对应的一个特征向量为112……………………6’海量资源尽在星星文库：∴2211011070nnnnM=nnn95.011014095.01102101195.01102370∴nnnnFR95.011014095.0110210………………………………14’⑶当n越来越大时，n95.0越来越接近于0，nR,nF分别趋向于常量210,140。即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。……2’