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观察并发现:下面数列有什么共同特点?(2)鞋的尺寸,按照国家统一规定,有:22,22.5,23,23.5,24,24.5,25,25.5,26,…(1)0,5,10,15,20,25,…(3)21,19,17,15,……(4)3,3,3,3,……(1)从第2项起,每一项与前一项的差都等于(2)从第2项起,每一项与前一项的差都等于(3)从第2项起,每一项与前一项的差都等于(4)从第2项起,每一项与前一项的差都等于50.50-2一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。一、等差数列的定义:注意:等差数列的定义可用符号表示为:证明等差数列的方法an+1-an=d(n∈N*),其中d为常数(或an-an-1=d,n≥2)一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。一、等差数列的定义:思考1:若一数列的前4项分别是“1,3,5,7”,那么这个数列是等差数列吗?为什么?思考2:数列,是等差数列吗?为什么?,,,,,ababab练习:求出下列数列的公差.(1)1,6,11,16,……(2)-8,-6,-4,-2,……(3)10,5,0,-5,……(4)21,19,17,15,……(5)3,3,3,3,……已知数列{an}是等差数列,d是公差,则:当d=0时,{an}为常数列;当d0时,{an}为递增数列;当d0时,{an}为递减数列;思考:上述数列的公差与该数列的类型有关系吗?d=5d=2d=-5d=-2d=0练习:在下列两个数中间再插入一个数,使这三个数组成一个等差数列,并思考插入的这个数与原有两数的关系。(1)-1,5;(2)-12,0.(1)-1,2,5(2)-12,-6,0如果在a与c中间插入一个数b,使a,b,c组成一个等差数列,则中间的数b叫做a与c的等差中项,且22或记为acbbac()思考:若已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,能否求出通项公式?若已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有:a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d……an=an-1+d=a1+(n-1)d又∵当n=1时,上式也成立∴an=a1+(n-1)d方法1:∵由等差数列的定义可得a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…∴不完全归纳法二、等差数列的通项公式:若已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有:a2-a1=da3-a2=da4-a3=d…an-an-1=d上述各式两边同时相加,得an-a1=(n-1)d方法2:∵由等差数列的定义可得叠加法∴an=a1+(n-1)d二、等差数列的通项公式:若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则an=a1+(n-1)d练习:求出下列数列的通项公式.(1)10,5,0,-5,……(2)21,19,17,15,……an=-5n+15an=-2n+23例1.(1)等差数列8,5,2,······的第20项是几?(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,·····的项?如果是,是第几项?(2)由题意得,a1=-5,d=-4设an=-401,则有-401=-5+(n-1)×(-4)解得n=100∴-401是这个数列的第100项解:(1)依题意得,a1=8,d=5-8=-3∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49二、等差数列的通项公式:若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则an=a1+(n-1)d等差数列的通项公式中包含四个量:an、a1、n、d这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.解:(1)依题意得a1+4d=10a1+11d=31解得a1=-2,d=3∴a25=a1+24d=-2+24×3=70例2.在等差数列{an}中,a5=10,(1)若a12=31,求a25;(2)若d=2,求a10;解:(2)∵a5=a1+4d=a1+4×2=10∴a1=2∴a10=a1+9d=2+9×2=20例2.在等差数列{an}中,a5=10,(1)若a12=31,求a25;(2)若d=2,求a10;题结:在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;有关等差数列的问题,如果条件与结论之间的联系不明显,则均可化成有关a1与d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量。例2.在等差数列{an}中,a5=10,(1)若a12=31,求a25;(2)若d=2,求a10;在等差数列{an}中,若知道第k项ak及公差d,则有an=ak+(n-k)d思考:第(2)题能不求a1直接求a10吗?d变形:nkaank练习、a10=a6+d,a99=a32+d.467拓展:在等差数列{an}中,若a5=10,a12=31,求a25。解:设等差数列{an}的公差为d,则依题意有∴a25=a5+20d=10+20×3=70125311031257aad练习:在下列两个数中间再插入两个数,使这四个数组成一个等差数列,(1)-1,5;(2)-12,0.作业:1、课本P40A组第1题25,11,17,23,,55、已知数列则是这个数列的项吗?若是,是第几项?需说明原因。二、等差数列的通项公式:若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则an=a1+(n-1)d练习2:在等差数列{an}中,(1)已知a1=-1,d=4,则a8=_______;27(2)已知a1=15,an=3,d=-3,则n=_____;5(3)已知a1=8,a6=23,则d=_____;3(4)已知d=2,a7=9,则a1=______;-3注意:在等差数列中,an、a1、n、d这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.思考:下列数列有什么共同的特点?(1)1,6,11,16,……(2)-8,-6,-4,-2,……(3)10,5,0,-5,……(4)21,19,17,15,……(5)3,3,3,3,……练习:在等差数列{an}中,(1)已知a1=-1,d=4,求a8;解:a8=a1+7d=-1+7×4=27(2)已知a1=15,an=3,d=-3,求n;解:∵3=15-3(n-1)∴n=5(3)已知a1=8,a6=23,求d;解:∵a6=a1+5d,即23=8+5d∴d=3(4)已知d=2,a7=9,求a1;解:∵a7=a1+6d即9=a1+6×2∴a1=-3练习:求出下列等差数列的公差.(1)1,6,11,16,……(2)-8,-6,-4,-2,……(3)10,5,0,-5,……(4)21,19,17,15,……(5)3,3,3,3,……当______时,{an}为常数列;当______时,{an}为递增数列;当______时,{an}为递减数列;等差数列的公差与该数列的类型的关系:d=5d=2d=-5d=-2d=0d=0d0d0练习:在等差数列{an}中,(1)已知a1=15,an=3,d=-3,则n=_____;(2)已知a1=8,a6=23,则d=_____;(3)已知d=2,a7=9,则a1=______;等差数列的通项公式中包含四个量:an、a1、n、d这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.53-3
本文标题:221等差数列一
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