人教版高中数学必修五同课异构课件12应用举例123探究导学课型

第3课时三角形中的几何计算类型一有关三角形的面积问题1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=()A.5B.C.2D.12.在△ABC中，cosA=cosB=BC=5，则△ABC的面积为.513－，35，21253.(2014·西安高二检测)在△ABC中，已知c=2，C=(1)若△ABC的面积等于求a，b的值.(2)若sinB=2sinA，求△ABC的面积..33，【解题指南】1.利用三角形面积公式求得角B，然后结合条件，利用余弦定理，求得AC.2.解答本题先求sinC，再利用正弦定理求AC，便可求得三角形的面积.3.(1)根据三角形的面积S=absinC及余弦定理列出a，b的方程组，解此方程组即可.(2)由条件找出a与b的关系式，并借助余弦定理求a，b，再求面积.12【自主解答】1.选B.因为S△ABC=acsinB=××1×sinB=，所以sinB=，所以B=或.当B=时，经计算△ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去.所以B=，使用余弦定理，b2=a2+c2-2accosB，解得b=，故选B.21251212224344342.由cosA=得sinA=由cosB=得sinB=所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB由正弦定理得AC=所以△ABC的面积为S=·BC·AC·sinC=答案：513－，2121cosA.1335，241cosB.512354362016().13513565656545BCsinB135.12sinA313＝＝121131685.23653＝833.(1)由题意得即解得(负值舍去)(2)因为sinB=2sinA，所以b=2a，①又因为c2=a2+b2-2abcosC，所以4=a2+b2-ab，②由①②知(负值舍去)所以2221absin323cab2abcos3，，22ab44abab，，a2b2.，23a343b3，，112343323SabsinC.223323【延伸探究】若题2条件变为：BC=2，C=cosB=试求△ABC的面积.【解析】由题意cosB=得sinB=sinA=sin(π-B-C)=sin(-B)由正弦定理得AB=所以4，35，354.53433232472sincosBcossinB44252510＝－＝＋＝，BCABsinAsinC＝，10.7111048SBCABsinB2.22757＝＝＝【规律总结】求解与三角形面积有关的平面图形面积的技巧(1)若平面图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.(2)若所给图形为平面三角形，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式S=absinC或S=bcsinA或S=acsinB进行求解.121212【拓展延伸】与圆有关的三角形面积公式(1)S△ABC=(a+b+c)r(r为△ABC内切圆的半径).(2)S△ABC=(R为△ABC外接圆半径)(3)S△ABC=2R2sinAsinBsinC.(R为△ABC外接圆半径)(4)海伦公式：S△ABC=其中p=(a+b+c).12abc.4Rppapb(pc)，12类型二三角形中三角恒等式的证明1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：2.在△ABC中，已知(1)求证：tanB=3tanA.(2)若cosC=求A的值.222sinABab.csinCABAC3BABC.55，【解题指南】1.此题所证结论包含△ABC的边角关系，因此可以考虑两种途径进行证明：(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形.(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形.2.(1)注意向量数量积公式的应用，正弦定理的应用(边角转化).(2)先利用cosC=求出tanC，再利用两角和的正切公式构造与tanA有关的方程.55【自主解答】1.方法一：由正弦定理的推广及余弦定理可知，右边=其中R是△ABC外接圆的半径.所以原等式成立.sinAcosBcosAsinBsinC222222222222222222aacbbcab2R2ac2bc2Rc2Racbbca2a2bab2c2cc2cc左边，方法二：由正弦定理可知，左边=所以原等式成立.2222222sinAsinBsinAsinBabsinAsinBcsinCsinC222ABABABAB2sincos2cossinsin(AB)sinAB2222sinCsinCsinCsinABsinABsinCsinC右边，2.(1)由得即为cbcosA=3cacosB，bcosA=3acosB，由正弦定理得sinBcosA=3sinAcosB，两边同除以cosAcosB得tanB=3tanA.即tanB=3tanA成立.ABAC3BABC，ABACcosA3BABCcosB｜｜｜｜｜｜｜｜，(2)因cosC=所以C为锐角，所以tanC=2，由(1)tanB=3tanA，且A+B+C=π，得tan[π-(A+C)]=3tanA，即-tan(A+C)=3tanA⇒=3tanA，即=3tanA，所以tanA=1或tanA=因tanB=3tanA，由内角和为π知两角均为锐角，故tanA=应舍去.所以tanA=1，所以A=55，tanAtanC1tanAtanCtanA22tanA11.313.4【规律总结】三角形中三角恒等式的证明技巧(1)证明三角形中的恒等式的关键：利用正弦定理和余弦定理以及其他公式，对边角关系进行互化.(2)证明三角形中的恒等式一般思路是：从要证的三角恒等式一端出发，证明其与另一端相等.也可同时证明两端都等于同一个式子.【变式训练】在△ABC中，证明：【解析】因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，由正弦定理可得acosC+ccosA=b，所以22CA1acosccosabc.22222CA11acosccosacacosCccosAabc.2222类型三正弦定理、余弦定理在解三角形问题中的综合应用1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC，3b=20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶42.(2014·湖南高考)如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=.(1)求cos∠CAD的值.(2)若cos∠BAD=，sin∠CBA=求BC的长.7714216，【解题指南】1.先把边a，c均用b表示出来，再利用余弦定理化简求值.2.利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解.【自主解答】1.选D.由题意知：a=b+1，c=b-1，所以3b=20acosA=20(b+1)=20(b+1)整理得：7b2-27b-40=0，解之得：b=5(负值舍去)，可知：a=6，c=4.结合正弦定理可知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4.222bca2bc222bb1b12bb1，2.(1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD=(2)设∠BAC=α，则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=，cos∠BAD=sin∠CAD=sin∠BAD=222ACADCD71427.2ACAD727－－277714－，2227211cosCAD1()77－－，2273211cosBAD1().1414－－－于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=在△ABC中，由正弦定理得，故BC=321277213().1471472－－BCAC.sinsinCBA37ACsin23.sinCBA216【规律总结】解三角形问题的类型及其一般思路(1)已知三角形两角和一边解三角形：先利用三角形内角和定理求出第三个角，然后可以用正弦定理或余弦定理求另外两边.(2)已知两边和它们的夹角解三角形：先用余弦定理求第三边，再用正弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三角.(3)已知三边解三角形：用余弦定理求各个角；或先用余弦定理求出一个角(如最大角或最小角)，再用正弦定理求另一个角，最后用三角形内角和定理求第三个角.(4)已知两边和其中一边的对角解三角形：先用正弦定理求另一边的对角，再用三角形内角和定理求第三个角，最后用正弦定理或余弦定理求第三边；或先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理求其余两个角.【变式训练】在△ABC中，∠B=45°，AC=cosC=(1)求BC边的长.(2)记AB的中点为D，求中线CD的长.10，25.5【解析】(1)由cosC=得sinC=sinA=sin(180°-45°-C)=由正弦定理知(2)AB=由余弦定理知255，5.52310cosCsinC.210AC10310BCsinA32.sinB1022AC1051sinACB2.BDAB1.sinB522222CDBDBC2BDBCcosB2118213213.2