人教版高中数学必修五同课异构课件25第1课时等比数列的前n项和教学能手示范课

2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和1．记住等比数列的前n项和公式，能够利用公式求等比数列的前n项和．2．掌握前n项和公式的推导方法．1．在等比数列{an}中，若公比q＝1，则其前n项和Sn＝________.答案：na12．在等比数列{an}中，若公比q≠1，则其前n项和Sn＝________＝________.自学导引答案：a11－qn1－qa1－anq1－q1．等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系？自主探究答案：(1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝a11－qn1－q，它可以变形为Sn＝－a11－q·qn＋a11－q，设A＝a11－q，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．(2)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．2．数列a，a2，a3，…，an，…一定是等比数列吗？答案：不一定，例如当a＝0时，数列就不是等比数列．1．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为()预习测评A．1＋a1－an－11－aB.1－an1－aC.an＋1－1a－1D．以上皆错【解析】要考虑到公比为1的情况，此时Sn＝n.答案：D2．数列{2n－1}的前99项和为()A．2100－1B．1－2100C．299－1D．1－299【解析】a1＝1，q＝2，∴S99＝1×1－2991－2＝299－1.答案：C3．若等比数列{an}的前3项的和为13，首项为1，则其公比为__________．【解析】由题知1－q31－q＝13,1＋q＋q2＝13，q2＋q－12＝0，所以q＝3或q＝－4.答案：3或－4【解析】由题知a11－1241－12＝158.所以a1＝1.答案：14．若一个等比数列的前4项的和为158，公比为12，则其首项为________．1．等比数列前n项和公式的推导设等比数列a1，a2，a3，…，an，…它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.由等比数列的通项公式可将Sn写成Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①①式两边同乘以q得，qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn.②①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得q≠1时，要点阐释当q＝1时，Sn＝na1.以上的推导方法叫做“错位相减法”．这是中学数学里比较重要的一种求和方法，要多用心体会．Sn＝a11－qn1－q.∵an＝a1qn－1，所以上式可化为Sn＝a1－anq1－q.特别提示：(1)等比数列的前n项和的公式及通项公式涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量，俗称“知三求二”．(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为q≠1，当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论q≠1与q＝1两种情况．(3)等比数列前n项和公式的另一种形式是：Sn＝na1q＝1，a1－anq1－qq≠1.2．等比数列的判定方法(1)an＋1＝anq(an≠0，q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．(2)an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．2n1a+题型一等比数列前n项和公式的基本运算典例剖析【例1】在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求S5；解：(1)由题意知a11＋q＝30，a11＋q＋q2＝155，解得a1＝5，q＝5或a1＝180，q＝－56’从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1080×1－－56n11.(2)解法一：由题意知a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，解得a1＝8，q＝12，从而S5＝a11－q51－q＝312.解法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝18，从而q＝12.又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝a11－q51－q＝312.(3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以，a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．从而a1＝2，an＝64或an＝2，a1＝64.又Sn＝a1－anq1－q＝126，所以q＝2，n＝6或q＝12，n＝6，所以q为2或12.方法点评：(1)这是一类基础题，要熟练应用等比数列的通项公式及前n项和公式，运用方程的思想，解决两个最基本的量：首项a1和公比q.在等比数列的求和问题中，经常使用整体代换的思想．(2)在使用等比数列的前n项和公式时，要注意讨论公比q＝1和q≠1两种情况．若本例(1)中的条件不变，如何求{an}的通项公式？解：∵S2＝30，S3＝155，∴a3＝S3－S2＝125，即a1·q2＝125.∴a1＝125q2.又∵a1＋a1q＝30，∴125q2＋125q＝30，即6q2－25q－25＝0.解得：a1＝5，q＝5或a1＝180，q＝－56.∴an＝5n或an＝180×－56n－1.题型二错位相减法求和【例2】求12＋24＋38＋…＋n2n的和．解：设Sn＝12＋24＋38＋…＋n2n，则12Sn＝14＋28＋316＋…＋n2n＋1，两式相减得：12Sn＝12＋14＋18＋…＋12n－n2n＋1＝121－12n1－12－n2n＋1＝1－12n－n2n＋1，∴Sn＝1－12n－n2n＋1.2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．解：(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝x1－xn1－x－nxn＋1.∴Sn＝x1－xn1－x2－nxn＋11－x.综合所述，Sn＝nn＋12x＝1，x1－xn1－x2－nxn＋11－xx≠1且x≠0.题型三判断等比数列【例3】已知数列{an}的前n项和Sn＝a2n－1(a≠0，±1；n∈N*)，试判断{an}是否为等比数列，为什么？解：{an}是等比数列，理由如下：a1＝S1＝a2－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a2n－1)－(a2n－2－1)＝(a2－1)a2n－2，此时，n＝1时，a1＝a2－1.∴数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)a2n－2(n∈N*)．即数列{an}是首项为a2－1，公比为a2的等比数列．方法点评：将已知条件Sn＝a2n－1与an＝Sn－Sn－1结合起来，得到n≥2时的通项公式an＝(a2－1)a2n－2，特别注意的是，n＝1时即a1＝a2－1能否统一到an＝(a2－1)·a2n－2中去，如果能统一起来，则数列{an}为等比数列，否则数列{an}不是等比数列．3．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．解：(1)由S1＝13(a1－1)，得a1＝13(a1－1)，∴a1＝－12.又S2＝13(a2－1)．即a1＋a2＝13(a2－1)，得a2＝14.(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，得anan－1＝－12，所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列．误区解密漏掉q＝1而导致错误【例4】在数列{an}中，an＝a2n－an(a≠0)求{an}的前n项和Sn.错解：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a2＋a4＋…＋a2n)－(a＋a2＋…＋an)＝a21－a2n1－a2－a1－an1－a.错因分析：等比数列求和，一定要注意公比是否等于1，否则将导致错误．正解：当a＝1时，an＝0，∴Sn＝0当a＝－1时，a2＝1，∴Sn＝n－a1－an1－a＝n＋1－－1n2.当a≠±1时，Sn＝a21－a2n1－a2－a1－an1－a综上Sn＝0a＝1n＋1－－1n2a＝－1a21－a2n1－a2－a1－an1－aa≠±1课堂总结1．等比数列的前n项和公式分两类，一类是当公比q＝1时，其公式为Sn＝na1；另一类是当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q2．在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还可以利用前n项和公式解与之有关的实际问题．3．错位相减法是数列求和的重要方法，必须理解数列特征及掌握求和方法．