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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 人教版高中数学必修五同课异构课件332简单的线性规划问题2精讲优练课型
第2课时简单线性规划的应用【题型探究】类型一实际问题中的最小值问题【典例】1.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表:某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为________百万元.ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.562.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为多少元?【解题探究】1.典例1中体现不等关系的关键词有哪些?提示:“至少要生产1.9万吨铁”中的“至少”;“CO2的排放量不超过2万吨”中的“不超过”;“购买铁矿石的最少费用”中的“最少”.2.典例2中的条件较多,如何把约束条件准确地列出来?提示:把相应的条件分类、分条目,放入到一个表格中,直观体现.A类(件)B类(件)费用(元)甲设备(台)510200乙设备(台)620300产品量(件)50140【解析】1.可设需购买A铁矿石x万吨,B铁矿石y万吨,则根据题意得到约束条件为x0y00.5x0.7y1.9x0.5y2,,,,目标函数为z=3x+6y,画出不等式组表示的平面区域如图.当目标函数经过点(1,2)时目标函数取最小值,最小值为zmin=3×1+6×2=15.答案:152.租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品情况如下表:A类产品(件)B类产品(件)租赁费(元)甲设备(台)510200乙设备(台)620300产品量(件)50140设租赁甲设备x台,乙设备y台,租赁费为z元,根据题意得z=200x+300y,作出可行域如图(阴影部分的整数点)所示:5x6y5010x20y140x0xNy0yN,,,,,,作直线l0:2x+3y=0,平移该直线l0,过A时z取最小值,由得A(4,5),符合实际意义,则zmin=4×200+5×300=2300(元).答:所需租赁费最少为2300元.5x6y50x2y14,【方法技巧】有关成本最低,费用最少问题的解题技巧(1)最优解的常见位置:线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有无数多个.(2)四舍五入:在解决实际问题时,若最优解要求满足一定的精确度,则要注意不可随意将所求结果进行四舍五入,否则有可能使近似值对应点超出可行域,而导致所求解无意义.【拓展延伸】解答线性规划应用题的技巧(1)在线性规划问题的应用中,常常是题中的条件较多,因此认真审题非常重要.(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断.(3)结合实际问题,分析未知数x,y等是否有限制,如x,y为正整数、非负数等.(4)分清线性约束条件和线性目标函数,线性约束条件一般是不等式,而线性目标函数却是一个等式.【变式训练】某汽车公司有两家装配厂,生产甲、乙两种不同型的汽车,若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车;B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车,问这两家工厂各工作几小时,才能使所用的总工作时数最少.【解析】设A厂工作x小时,B厂工作y小时,总工作时数为T小时,则它的目标函数为T=x+y且可行域如图.x3y402xy40x0y0,,,,由图知当直线l:y=-x+T过Q点时,纵截距T最小,解方程组得Q(16,8),答:A厂工作16小时,B厂工作8小时,可使所用的总工作时数最少.x3y402xy40,类型二实际问题中的最大值问题【典例】1.(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)1282.某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A,B,要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如表:产品A(件)产品B(件)研制成本与搭载实验费用之和(万元/件)2030计划最大资金额300万元产品质量(千克/件)105最大搭载质量110千克预计收益(万元/件)8060试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大?【解题探究】1.典例1中应按照怎样的思路求出最大利润?提示:设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,然后根据题目条件建立约束条件,得到目标函数,画出约束条件所表示的区域,然后利用平移法求出z的最大值.2.典例2中如何根据表格分析约束条件和目标函数?提示:在表格横行观察第一行得到研制新产品A,B所需费用的资金限制条件;第二行得到研制新产品A,B搭载质量的限制条件;第三行通过收益得目标函数.【解析】1.选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,则目标函数为z=3x+4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.3x2y12x2y8x0y0,,,,由z=3x+4y得y=平移直线y=由图象可知当直线y=经过点A时,直线y=在y轴上的截距最大,此时z最大,解方程组即A的坐标为(2,3),所以zmax=3x+4y=6+12=18.3zx44,3zx44,3zx443zx443x2y12x2x2y8y3,,得,,即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨,3吨,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元.2.设搭载产品Ax件,产品By件,预计总收益z=80x+60y.作出可行域,如图.20x30y3002x3y3010x5y1102xy22xNyNxNyNx0y0x0y0,,,,即,,,,,,,,作出直线l0:4x+3y=0并平移,由图象得,当直线经过M点时z能取得最大值,即M(9,4),即搭载产品A9件,产品B4件,可使得总预计收益最大.2x3y30x92xy22y4,,由解得,,【延伸探究】1.(改变问法)典例1中的所有条件不变,则每天生产甲、乙两种产品的吨数分别是多少时,该企业每天可获得最大利润,并求此最大利润.【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,则目标函数为z=3x+4y.3x2y12x2y8x0y0,,,,作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.由z=3x+4y得y=平移直线y=由图象可知当直线y=经过点A时,直线y=在y轴上的截距最大,此时z最大,解方程组即A的坐标为(2,3),故每天生产甲、乙两种产品分别为2吨和3吨时,该企业每天可获得最大利润,此时最大利润为zmax=3x+4y=3×2+4×3=18(万元).3zx44,3zx44,3zx443zx443x2y12x2x2y8y3,,得,.2.(变换条件)典例1中若将“生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元”改为“生产1吨甲、乙产品可获利润分别为4万元、3万元”,其他条件不变,结果如何?【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,则目标函数为z=4x+3y.3x2y12x2y8x0y0,,,,作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.由z=4x+3y得y=平移直线y=由图象可知当直线y=经过点A时,直线y=在y轴上的截距最大,此时z最大,解方程组即A的坐标为(2,3),即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨,3吨,能够产生最大的利润.4zx33,4zx33,4zx334zx333x2y12x2x2y8y3,,得,,【方法技巧】解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读,对关键部分进行“精读”,准确理解题意,明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些,由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表格来理顺.(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题.(4)作答——对应用题提出的问题作出回答.【补偿训练】某公司计划2016年在A,B两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.A,B两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定A,B两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问公司在A,B两个电视台做广告的时间分别为多少分钟时,公司能获得最大收益?【解题指南】设公司在A,B两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,由题意列出x,y的约束条件和目标函数,然后利用线性规划的知识求解.【解析】设公司在A,B两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得目标函数z=3000x+2000y.二元一次不等式组等价于xy300500x200y90000x0y0,,,,xy3005x2y900x0y0,,,,作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分.作直线l:3000x+2000y=0,即3x+2y=0,平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.所以点M的坐标为(100,200).答:该公司在A电视台做100分钟广告,在B电视台做200分钟广告时,公司的收益最大.xy300x1005x2y900y200.,,联立解得,【延伸探究】1.(改变问法)若本题的条件不变,求分配在两个电视台做广告的时间应分别为多少时,公司能获得最大收益,最大收益为多少?【解析】设公司在A,B两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得目标函数z=3000x+2000y.二元一次不等式组等价于xy300500x200y90000x0y0,,,,xy3005x2y900x0y0,,,,作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分.作直线l:3000x+2000y=0,即3x+2y=0,平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.则zmax=3000×100+2000×200=700000.答:该公司在A电视台做100分钟广告,在B电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益为700000元.xy300x1005x2y900y200.,,联立解得,2.(变换条件)若将本题中的“能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元”,改为“能给公司带来的收益分别为0.4万元和0.2万元”,又如何求解?【解析】设公司在A,B两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得目标函数z=4000x+2000y.二元一次不等式组等价于xy300500x200y90000x0y0,,,,xy3005x2y900x0y0,,,,作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分.作直线l:4000x+2000y=0,即2x+y=0,平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.联立所以点M的坐标为(100,200),所以zmax=4000×100+2000×200=800000.答:该公司在A电视台做100分钟广告,在B电视台做200分钟广
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