2013年高考理科数学全国新课标卷1(附答案)

第1页共11页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I新课标)注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置．3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()．A．A∩B＝B．A∪B＝RC．BAD．AB答案：B解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.∴集合A与B可用图象表示为：由图象可以看出A∪B＝R，故选B.2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()．A．－4B．45C．4D．45答案：D解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴55(34i)34i34i(34i)(34i)55z.故z的虚部为45，选D.3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：2222=1xyab(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()．A．y＝14xB．y＝13xC．y＝12xD．y＝±x答案：C解析：∵52cea，∴22222254cabeaa.第2页共11页∴a2＝4b2，1=2ba.∴渐近线方程为12byxxa.5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()．A．[－3,4]B．[－5,2]C．[－4,3]D．[－2,5]答案：A解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]．综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A.6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()．A．500π3cm3B．866π3cm3C．1372π3cm3D．2048π3cm3答案：A解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．第3页共11页BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，所以球的体积为34500π5π33(cm3)，故选A.7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()．A．3B．4C．5D．6答案：C解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.∵Sm＝ma1＋12mm×1＝0，∴112ma.又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴132mm.∴m＝5.故选C.8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A.9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝()．A．5B．6C．7D．8答案：B解析：由题意可知，a＝2Cmm，b＝21Cmm，又∵13a＝7b，∴2!21!13=7!!!1!mmmmmm，第4页共11页即132171mm.解得m＝6.故选B.10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：2222=1xyab(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()．A．22=14536xyB．22=13627xyC．22=12718xyD．22=1189xy答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，∴2211222222221,1,xyabxyab①②①－②，得1212121222=0xxxxyyyyab，即2121221212=yyyybaxxxx，∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而1212yyxx＝kAB＝011=312，∴221=2ba.又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.∴椭圆E的方程为22=1189xy.故选D.11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝220ln(1)0.xxxxx，，，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]答案：D解析：由y＝|f(x)|的图象知：①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.当x＝0时，不等式为0≥0成立．当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2＜－2，∴a≥－2.综上可知：a∈[－2,0]．12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….第5页共11页若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝2nnca，cn＋1＝2nnba，则()．A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.答案：2解析：∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，∴0＝t|a||b|cos60°＋(1－t)，0＝12t＋1－t.∴t＝2.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133nnSa，则{an}的通项公式是an＝__________.答案：(－2)n－1解析：∵2133nnSa，①∴当n≥2时，112133nnSa.②①－②，得12233nnnaaa，即1nnaa＝－2.∵a1＝S1＝12133a，∴a1＝1.∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝__________.答案：255解析：f(x)＝sinx－2cosx＝125sincos55xx，令cosα＝15，sinα＝25，则f(x)＝5sin(α＋x)，当x＝2kπ＋π2－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值5，第6页共11页即θ＝2kπ＋π2－α(k∈Z)，所以cosθ＝πcos2π+2k＝πcos2＝sinα＝22555.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．答案：16解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称，∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，即15164,0893,babab解得8,15.ab∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，得x1＝－2－5，x2＝－2，x3＝－2＋5.易知，f(x)在(－∞，－2－5)上为增函数，在(－2－5，－2)上为减函数，在(－2，－2＋5)上为增函数，在(－2＋5，＋∞)上为减函数．∴f(－2－5)＝[1－(－2－5)2][(－2－5)2＋8(－2－5)＋15]＝(－8－45)(8－45)＝80－64＝16.f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f(－2＋5)＝[1－(－2＋5)2][(－2＋5)2＋8(－2＋5)＋15]＝(－8＋45)(8＋45)＝80－64＝16.故f(x)的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝117323cos30424.故PA＝72.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.第7页共11页在△PBA中，由正弦定理得3sinsin150sin(30)，化简得3cosα＝4sinα.所以tanα＝34，即tan∠PBA＝34.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(－1,0,0)．则BC＝(1,0，3)，1BB＝1AA＝(－1，3，0)，1AC＝(0，3，3)．设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则10,0,BCBBnn即30,30.xzxy可取n＝(3，1，－1)．故cos〈n，1AC〉＝11ACACnn＝105.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为105.19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分1