离散数学常见典型题练习题及参考答案

袆第一章部分课后习题参考答案蒇16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。薁（1）p∨(q∧r)0∨(0∧1)0蕿（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)（0↔1）∧(1∨1)0∧10.薇（3）（p∧q∧r）↔(p∧q∧﹁r)（1∧1∧1）↔(0∧0∧0)0膆(4)（r∧s）→(p∧q)（0∧1）→(1∧0)0→01蚁17．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。”罿答：p:是无理数1荿q:3是无理数0羄r:2是无理数1螁s:6能被2整除1莀t:6能被4整除0螇命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。螃19．用真值表判断下列公式的类型：袁（4）(p→q)→(q→p)螁（5）(p∧r)(p∧q)葿（6）((p→q)∧(q→r))→(p→r)螆答：（4）羀pqp→qqpq→p(p→q)→(q→p)袈0011111羇0110111薅1001001羀1110011艿所以公式类型为永真式虿（5）公式类型为可满足式（方法如上例）芄（6）公式类型为永真式（方法如上例）莄第二章部分课后习题参考答案蚀3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.肇(1)(p∧q→q)莇(2)(p→(p∨q))∨(p→r)蒄(3)(p∨q)→(p∧r)肁答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1衿所以公式类型为永真式肆(3)Pqrp∨qp∧r（p∨q）→(p∧r)薄000001蒂001001芆010100袅011100蚄100100薈101111羈110100蚃111111蚄所以公式类型为可满足式罿4.用等值演算法证明下面等值式：蒆(2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r))蚆(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q)∧(p∧q)螄证明（2）(p→q)∧(p→r)莀(p∨q)∧(p∨r)膈p∨(q∧r))蒅p→(q∧r)袃（4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q))∧(q∨(p∧q)螁(p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p)∧(q∨q)蚆1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1芄(p∨q)∧(p∧q)羃5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值羈(1)(p→q)→(q∨p)莈(2)(p→q)∧q∧r羃(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)肃解：荿（1）主析取范式螆(p→q)→(qp)肆(pq)(qp)膃(pq)(qp)螀(pq)(qp)(qp)(pq)(pq)蒈(pq)(pq)(pq)螅∑(0,2,3)膃主合取范式：膁(p→q)→(qp)羅(pq)(qp)薃(pq)(qp)芃(p(qp))(q(qp))薁1(pq)蚇(pq)M1薆∏(1)莃(2)主合取范式为：蚈(p→q)qr(pq)qr荿(pq)qr0莅所以该式为矛盾式.蒃主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)聿矛盾式的主析取范式为0袇(3)主合取范式为：膄(p(qr))→(pqr)薂(p(qr))→(pqr)蒀(p(qr))(pqr)蕿(p(pqr))((qr))(pqr))袃11蚂1袁所以该式为永真式.肇永真式的主合取范式为1羆主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)螂第三章部分课后习题参考答案14.15.肈在自然推理系统P中构造下面推理的证明：蝿(2)前提：pq,(qr),r蚅结论：p螂(4)前提：qp,qs,st,tr葿结论：pq膇证明：（2）蒄①(qr)前提引入袂②qr①置换袀③qr②蕴含等值式羈④r前提引入蒇⑤q③④拒取式羂⑥pq前提引入芀⑦￢p（3）⑤⑥拒取式莆证明（4）：芅①tr前提引入肂②t①化简律蚁③qs前提引入肈④st前提引入肄⑤qt③④等价三段论膂⑥（qt）(tq)⑤置换螈⑦（qt）⑥化简薆⑧q②⑥假言推理袃⑨qp前提引入芁⑩p⑧⑨假言推理腿(11)pq⑧⑩合取芈15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)(2)袆前提：p(qr),sp,q莁结论：sr薀证明蚆①s附加前提引入蚅②sp前提引入莁③p①②假言推理羁④p(qr)前提引入蒈⑤qr③④假言推理莄⑥q前提引入蒁⑦r⑤⑥假言推理莂16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：袆(1)前提：pq,rq,rs蒇结论：p薁证明：蕿①p结论的否定引入薇②p﹁q前提引入膆③﹁q①②假言推理蚁④￢rq前提引入罿⑤￢r④化简律荿⑥r￢s前提引入羄⑦r⑥化简律螁⑧r﹁r⑤⑦合取莀由于最后一步r﹁r是矛盾式,所以推理正确.螇第四章部分课后习题参考答案螃3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:袁(1)对于任意x,均有2=(x+)(x).螁(2)存在x,使得x+5=9.葿其中(a)个体域为自然数集合.螆(b)个体域为实数集合.羀解：袈F(x):2=(x+)(x).羇G(x):x+5=9.薅(1)在两个个体域中都解释为)(xxF，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。羀(2)在两个个体域中都解释为)(xxG，在（a）(b)中均为真命题。艿4.在一阶逻辑中将下列命题符号化:虿(1)没有不能表示成分数的有理数.芄(2)在北京卖菜的人不全是外地人.莄解:蚀(1)F(x):x能表示成分数肇H(x):x是有理数莇命题符号化为:))()((xHxFx蒄(2)F(x):x是北京卖菜的人肁H(x):x是外地人衿命题符号化为:))()((xHxFx肆5.在一阶逻辑将下列命题符号化:薄(1)火车都比轮船快.蒂(3)不存在比所有火车都快的汽车.芆解:袅(1)F(x):x是火车;G(x):x是轮船;H(x,y):x比y快蚄命题符号化为:)),())()(((yxHyGxFyx薈(2)(1)F(x):x是火车;G(x):x是汽车;H(x,y):x比y快羈命题符号化为:))),()(()((yxHxFxyGy蚃9.给定解释I如下:蚄(a)个体域D为实数集合R.罿(b)D中特定元素=0.蒆(c)特定函数(x,y)=xy,x,yD.蚆(d)特定谓词(x,y):x=y,(x,y):xy,x,yD.螄说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值:莀答:(1)对于任意两个实数x,y,如果xy,那么xy.真值1.膈(2)对于任意两个实数x,y,如果x-y=0,那么xy.真值0.蒅10.给定解释I如下：袃（a）个体域D=N(N为自然数集合).螁（b）D中特定元素=2.蚆（c）D上函数=x+y,(x,y)=xy.芄（d）D上谓词(x,y):x=y.羃说明下列各式在I下的含义，并讨论其真值.(1)(2)羈xF(g(x,a),x)(3)(4)莈xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)羃答:(1)对于任意自然数x,都有2x=x,真值0.肃(2)对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y,那么y+2=x.真值0.荿11.判断下列各式的类型:螆(1)肆(3)yF(x,y).膃解:(1)因为1)()(pqppqp为永真式；螀所以为永真式；蒈(3)取解释I个体域为全体实数螅F(x,y)：x+y=5膃所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5，前件真；膁后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5，后件假，]羅此时为假命题薃再取解释I个体域为自然数N，芃F(x,y)：:x+y=5薁所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5，前件假。此时为假命题。蚇此公式为非永真式的可满足式。薆13.给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。莃(1)(F(x)蚈(2)x(F(x)G(x)H(x))荿解:(1)个体域:本班同学莅F(x)：x会吃饭,G(x)：x会睡觉.成真解释蒃F(x)：x是泰安人,G(x)：x是济南人.（2）成假解释聿(2)个体域:泰山学院的学生袇F(x)：x出生在山东,G(x):x出生在北京,H(x):x出生在江苏,成假解释.膄F(x)：x会吃饭,G(x)：x会睡觉,H(x)：x会呼吸.成真解释.薂第五章部分课后习题参考答案蒀5.给定解释Ｉ如下:蕿(a)个体域D={3,4};袃(b))(xf为3)4(,4)3(ff蚂(c)1)3,4()4,3(,0)4,4()3,3(),(FFFFyxF为.袁试求下列公式在Ｉ下的真值.肇(1)),(yxyFx羆(3))))(),((),((yfxfFyxFyx螂解:(1)))4,()3,((),(xFxFxyxyFx肈(2))))(),((),((yfxfFyxFyx蝿12.求下列各式的前束范式。蚅(1)),()(yxyGxxF螂(5))),()((),(2121211xxGxxHxxFx(本题课本上有错误)葿解:(1)),()(yxyGxxF),()(ytyGxxF)),()((ytGxFyx膇(5))),()((),(2121211xxGxxHxxFx蒄15.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明:(1)(2)袂前提:))())()((()(yRyGyFyxxF,)(xxF袀结论:xR(x)(3)(4)羈前提:x(F(x)→(G(a)∧R(x))),xF(x)蒇结论:x(F(x)∧R(x))羂证明(1)芀①)(xxF前提引入莆②F(c)①EI芅③))())()((()(yRyGyFyxxF前提引入肂④))())()(((yRyGyFy①③假言推理蚁⑤(F(c)∨G(c))→R(c))④UI肈⑥F(c)∨G(c)②附加肄⑦R(c)⑤⑥假言推理膂⑧xR(x)⑦EG螈(2)薆①xF(x)前提引入袃②F(c)①EI肀③x(F(x)→(G(a)∧R(x)))前提引入肈④F(c)→(G(a)∧R(c))③UI肇⑤G(a)∧R(c)②④假言推理蚅⑥R(c)⑤化简膀⑦F(c)∧R(c)②⑥合取引入葿⑧x(F(x)∧R(x))⑦EG薄第六章部分课后习题参考答案蒄5.确定下列命题是否为真：芀（1）真衿（2）假芆（3）}{真节（4）}{真莀（5）｛a,b｝｛a,b,c,｛a,b,c｝｝真芀（6）｛a,b｝｛a,b,c,｛a,b｝｝真螄（7）｛a,b｝｛a,b,｛｛a,b｝｝｝真芅（8）｛a,b｝｛a,b,｛｛a,b｝｝｝假蒀6．设a,b,c各不相同，判断下述等式中哪个等式为真:莇（1）｛｛a,b｝，c,｝=｛｛a,b｝,c｝假蒆（2）｛a,b,a｝=｛a,b｝真肄（3）｛｛a｝，{b}｝=｛｛a,b｝｝假蕿（4）｛，｛｝，a,b｝=｛｛,｛｝｝,a,b｝假螈8．求下列集合的幂集：膈（1）｛a,b,c｝P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}袃（2）｛1，｛2，3｝｝P(A)={,{1},{{2,3}},{1，{2，3}}}蕿（3）｛｝P(A)={,｛｝}腿（4）｛，｛｝｝P(A)={,{1},{{2,3}},{1，{2，3}}}蚆14．化简下列集合表达式：薂（1）（AB）B）-（AB）虿（2）（（ABC）-（BC））A薀解:莈(1)（AB）B）-（AB）=（AB）B）～（AB）蚅=（AB）～（AB）)B=B=蝿（2）（（ABC）-（BC））A=（（ABC）～（BC）