第二十六章 二次函数 章末整合提升 课件(人教版九年级下)

章末整合提升热点一二次函数的图象与性质二次函数的图象是抛物线，其性质主要体现在开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值、对称性等方面，熟练掌握这些性质是学好本章的前提和基础．再者注意y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象的关系，它们形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到．平移的规律是：“h左加右减，k上加下减”．二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c可以转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k加以分析．【例1】已知二次函数y＝2(x－1)2＋m的图象上有三个点，坐标分别为A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1y2y3C．y3y1y2B．y2y1y3D．y3y2y1解析：∵二次函数的解析式为y＝2(x－1)2＋m，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为直线x＝1.∵点A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)为二次函数y＝2(x－1)2＋m的图象上三个点，且三点横坐标距离对称轴x＝1的距离远近顺序为C(－4，y3)，B(3，y2)，A(2，y1)，∴三点纵坐标的大小关系为y3y2y1.答案：D【跟踪训练】1．二次函数y＝x2＋2x－5有()DA．最大值－5C．最大值－6B．最小值－5D．最小值－62．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是()BA．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位3．如图22-1，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得AA1B1.(1)求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点C，D的坐标．图22-1解：(1)由题意，得点A(1,0)，B1(2,1)．设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2.将B1坐标代入，得a＝1.所以抛物线的解析式为y＝(x－1)2.(2)因为点B坐标为(1,1)，所以直线OB的解析式为y＝x.侧)．抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,1)．将其代入y＝(x－1)2中，得C3－52，3－52(因点C在点A左热点二二次函数与一元二次方程的关系二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次ax2＋bx＋c＝0(a≠0)从形式上看十分相似，两者之间既有联系又有区别．当抛物线y＝ax2＋bx＋c的y值为0时，就得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.抛物线与x轴是否有交点就取决于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数的情况．当b2－4ac0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴只有一个交点，此交点的横坐标是方程的根；当b2－4ac0时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．【例2】已知函数y＝mx2－6x＋1(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．思路点拨：(1)根据解析式可知，当x＝0时，函数值与m值无关，故不论m为何值，函数y＝mx2－6x＋1的图象都经过y轴上一个定点(0,1)．(2)应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答．解：(1)当x＝0时，y＝1.所以不论m为何值，函数y＝mx2－6x＋1的图象都经过y轴上的一个定点(0,1)．(2)①当m＝0时，函数y＝－6x＋1的图象与x轴只有一个交点；②当m≠0时，函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，所以(－6)2－4m＝0，解得m＝9.综上所述，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.【跟踪训练】34．抛物线y＝2x2－5x＋3与坐标轴的交点共有_______个．5．已知关于x的函数y＝ax2＋x＋1(a为常数)．(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．解：(1)当a＝0时，函数为y＝x＋1，它的图象显然与x轴只有一个交点(－1,0)．当a≠0时，依题意，得方程ax2＋x＋1＝0有两个相等的实数根．∴Δ＝1－4a＝0.∴a＝14.∴当a＝0或a＝14时，函数图象与x轴恰有一个交点．(2)依题意，有4a－14a＞0.当4a＞0,4a－1＞0，解得a＞14；当4a＜0,4a－1＜0，解得a＜0.∴当a＞14或a＜0时，抛物线顶点始终在x轴上方．热点三二次函数的综合应用【例3】已知关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A，B，点A的坐标是(1,0)(1)求c的值；(2)求a的取值范围；(3)该二次函数的图象与直线y＝1交于C，D两点，设A，B，C，D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0a1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．(1)解：将点C(0,1)代入y＝ax2＋bx＋c，得c＝1.(2)解：由(1)知：y＝ax2＋bx＋1，将点A(1,0)代入，得a＋b＋1＝0，∴b＝－(a＋1)．∴二次函数为y＝ax2－(a＋1)x＋1.∵二次函数为y＝ax2－(a＋1)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，∴Δ0.而Δ＝[－(a＋1)]2－4a＝a2＋2a＋1－4a＝a2－2a＋1＝(a－1)2，∴实数a的取值范围是a0且a≠1.(3)证明：如图22-2，∵0a1，图22-2∴对称轴为x＝－－a－12a＝a＋12a1.∴AB＝2a＋12a－1＝1－aa.把y＝1代入y＝ax2－(a＋1)x＋1，得ax2－(a＋1)x＝0，解得x1＝0，x2＝1＋aa.∴CD＝1＋aa.∴S1－S2＝S△PCD－S△PAB＝S△ACD－S△CAB∴S1－S2为常数，这个常数为1.＝12×CD×OC－12×AB×OC＝12×1＋a2×1－12×1－aa×1＝1.【跟踪训练】6．如图22-3，抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点为D(－1，－4)，与y轴交于点C(0，－3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；图22-3(3)若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．则抛物线解析式为＝x2＋2x－3.(2)结合图形，抛物线y＝x2＋2x－3，与x轴的交点为(1,0)，(－3,0)，由AC2＋CD2＝AD2，所以△ACD为直角三角形．解：(1)由题意，得－b2＝－1，4c－b24＝－4.解得b＝2，c＝－3，由题意，点A(－3,0)，∴AC＝9＋9＝32，CD＝1＋1＝2，AD＝4＋16＝25，(3)存在点A(－3,0)，B(1,0)，则|AB|＝4.抛物线y＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1.点E在抛物线的对称轴上，则过点E作EF∥AB.交抛物线于点F.要使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形，则|EF|＝4.设点F坐标为(x，y)，则|x＋1|＝4，故x＝－5或x＝3.当x＝3时，y＝32＋2×3－3＝9＋6－3＝12，则点F为(3,12)．当x＝3时，y＝52－2×5－3＝25－10－3＝12.则点F为(5,12)．故存在点F(5,12)或(3,12)，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形．7．如图22-4，抛物线y＝(x＋1)2＋k与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的对称轴及k的值；(2)抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA＋PC的值最小，求此时点P的坐标；(3)点M是抛物线上一动点，且在第三象限．图22-4①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．解：(1)抛物线y＝(x＋1)2＋k的对称轴为直线x＝－1.∵抛物线y＝(x＋1)2＋k过点C(0，－3)，则－3＝(0＋1)2＋k,∴k＝－4.(2)如图D6，根据两点之间线段最短可知，当P点在线段AC上就可使PA＋PC的值最小，又因为点P要在对称轴上，所以P点应为线段AC与对称轴直线x＝－1的交点．图D6由(1)可知，抛物线的表达式为y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3.令y＝0，则(x＋1)2－4＝0，解得x1＝－3，x2＝1.则点A，B的坐标分别是A(－3,0)、B(1,0)．设直线AC的表达式为y＝kx＋b，则所以直线AC的表达式为y＝－x－3.当x＝－1时，y＝－(－1)－3＝－2，所以点P的坐标为(－1，－2)．－3k＋b＝0，b＝－3.解得k＝－1，b＝－3.(3)①当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大．由抛物线表达式y＝(x＋1)2－4可知，抛物线的顶点坐标为(－1，－4)．∴点M的坐标为(－1，－4)．②方法一：如图D6，过点M作MH⊥x轴于点H，连接AM，MC，CB.点M在抛物线上，且在第三象限，设点M的坐标为(x，x2＋2x－3)，则△AMB的最大面积S△AMB＝12×(3＋1)×4＝8.S四边形AMCB＝S△AMH＋S梯形OHMC＋S△OBC＝12(x＋3)(－x2－2x＋3)＋12(3－x2－2x＋3)(－x)＋12×1×3＝－32x2－92x＋6＝－32x＋322＋758.当x＝－32时，四边形AMCB的面积最大，最大面积为758.当x＝－32时，x2＋2x－3＝－322＋2×－32－3＝－154.∴当四边形AMCB的面积最大时，点M的坐标为－32，－154.方法二：如图D6，过点M作MH⊥x轴于点H，交直线AC于点N，连接AM，MC，CB.点M在抛物线上，且在第三象限，设点M的坐标为(x，x2＋2x－3)，则点N的坐标为(x，－x－3)．则|MN|＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x.则S四边形AMCB＝S△ABC＋S△AMC＝12×(3＋1)×3＋12(－x2－3x)×3＝－32x2－92x＋6＝－32x＋322＋758.当x＝－32时，四边形AMCB的面积最大，最大面积为758.当x＝－32时，x2＋2x－3＝－322＋2×－32－3＝－154.∴四边形AMCB的面积最大时，点M的坐标为－32，－154.