第二节---一次函数的有关概念

第二节一次函数的有关概念知识清单：1.正比例函数2.一次函数3.一次函数的一般形式4.特定系数法（重点）知识点1正比例函数一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，例如y=x31,y=21-x等都是正比例函数．温馨提示：①正比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数解析式y=kx的结构特征：a.k≠0，b.x的次数是1．③一般情况下，正比例函数的取值范围是全体实数。例1在下列函数中，是正比例函数的有()①kxy；②y=31-x；③y=x1；④y=2x-；⑤y=x-l.A.①③B．②C．①③⑤D．①②④知识点2一次函数一般地，如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数．如y=2x-1，y=x21等都是一次函数。特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时．y=kx（k为常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．温馨提示：①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。②一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数．③如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数．例2函数y=nxn12m是一次函数，m，n应满足的条件是___________．知识点3一次函数的一般形式一次函数的—般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0.一次函数的一般形式的结构特征：(1)k≠0，(2)x的次数是l，(3)常数b可以为任意实数．温馨提示：①判断一个函数是否是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式．②当k≠0，b=0时，这个函数既是一次函数，又是正比例函数．③当k=0，b≠0时，这个函数不是一次函数．④一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程．例3若一次函数y=kx+b，当x的值减小1时，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值()A．增加4B．减小4C．增加2D．减小2知识点4待定系数法（重点）先设出式子中的未知系数，再根据已知条仵列出方程（组）求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数．如正比例函数y=kx中的k，一次函数y=kx+b中的k和b都是待定系数．1．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤：(1)设出含有待定系数的函数的解析式y=kx(k≠0).(2)把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．(3)解方程，求出待定系数k．(4)将求得的待定系数k的值代入解析式.例4若正比例函数的图象经过点（-1，2），则这个图象必经过点()A．(1，2)B．（一1，-2）C．（2，-1）D．（1，-2）2．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：(1)设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b.(2)把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．(3)解二元一次方程组，求出待定系数k，b．(4)将求得的待定系数k，b的值代入解析式．例5已知一次函数的图象经过（-4，15）、(6，-5)两点，求此一次函数的解析式.温馨提示：①一次函数y=kx+b中，有两个待定系数k、b，因而需要两个条件才能求出k、b的值．②待定系数法求一次函数解析式往往选取的条件是图象上的两个点或实际问题中的自变量与函数的两对对应值．方法清单：1.一次函数的判别方法2.解正比例关系问题的方法3.一次函数解析式的确定方法方法1一次函数的判别方法要判断一个函数是否为一次函数，就要先将式子进行变形，看它能否化成y=kx+b(k≠0)的形式，即x的指数为1，x的系数k≠0，b为任意常数，若符合上述条件，则为一次函数．且当b=0时，这个函数既是一次函数，又是正比例函数．例1下列函数中，是关于x的一次函数的有()①12xy;②xy1;③y=2-x;④y=-3x;⑤5yx.A．1个B.2个C．3个D．4个方法2解正比例关系问题的方法两个变量y与x成正比例，则应满足y=kx(k≠0)的形式，这里的y与x可以表示任意整式．例2已知y+l和并成正比例函数关系，且当x=3时，y=5，求，y与x的函数关系式，并求出当点（a，-1）在这个函数的图象上时a的值.方法3一次函数解析式的确定方法(1)待定系数法：就是先设一次函数解析式是y=kx+b（k≠0），利用已知条件列出方程组，通过解方程组确定k、b的值，最后确定解析式．(2)对于几何图形中的两个变量的关系，要能够结合几何图形的性质确定两个变量的关系，然后用一个变量表示出另一个变量，并注意自变量的取值范围．(3)对于实际问题中的两个量之间的关系，要分析各个量之间存在的数量关系，并能正确用含一个量的代数式表示另一个量，同时注意自变量的取值范围。例3如果一次函数y=kx+b的自变量z的取值范围是-2≤x≤6，相应函数值的范围是-11≤y≤9，求此函数解析式．例4如图，正方形ABCD的边长为2，M是CD边上的动点，设CM=x，梯形ABCM的面积为y，那么，y与x之间的函数关系式是___________．例5政府现开发一个新楼盘，准备为低收入家庭改善居住环境，小明一家喜得一套住房准备贷款购买首次需付3万元，以后每月还款1000元，则小明家买房所花钱数y与还款月数x之间的函数关系式为________________。第三节一次函数的图象与性质知识清单：1.正比例函数的图象特征与性质；2.一次函数的图象特征与性质；3.k,b的符号与直线y=kx+b的关系；4.一次函数图象的平移；5.一次函数与正比例函数的区别与联系。知识点1正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点(0，0)的一条直线。k的符号函数图象图象的位置性质k0图象过第一、三象限y随x的增大而增大K0图象过第二、四象限y随x的增大而减小温馨提示：①通常画正比例函数y=kx(k≠0)的图象时只需取一点（1，k),然后过原点和这一点画直线。②当k0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右呈上升趋势；当k0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．③正比例函数y=kx中，k越大，直线y=kx越靠近y轴；lkl越小，直线y=kx越靠近x轴.例1),(),,(222111yxPyxP是正比例函数xy21图象上的两点，下列判断中，正确的是()A.21yyB.21yyC.当2121yyxx时，D.2121yyxx时，知识点2一次函数的图象特征与性质一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，通常也称为直线y=kx+b.一方面，一次函数y=kx+b的图象可以用描点法画出；另一方面，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图象是，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便常用图象与坐标轴的两个交点（0，b)和（kb-，0）来画图象。一次函数的性质k,b的符号函数图象图象的性质性质k0b0图象过第一、二、三象限y随x的增大而增大b0图象过第一、三、四象限k0b0图象过第一、二、四象限y随x的增大而减小b0图象过第二、三、四象限温馨提示：①直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的，其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是呈下降趋势；b决定直线与y轴交点的位置，是在y轴的正半轴上还是y轴的负半轴上，还是原点。k与b综合起来决定直线y=kx+b在直角坐标系中的位置。②y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小，只取决于k的符号，与b无关。③一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量x的取值范围是全体实数。图象是一条直线，因此没有最大值与最小值。但由实际问题得到的一次函数解析式自变量的取值范围一般受到限制，则图象为线段或射线，根据函数的性质就存在最大值或最小值。例2关于x的一次函数y=kx+2k+1的图象可能是()例3直线21ll和在同一直角坐标系中的位置如图所示，点),(111yxP在直线1l上，点),(333yxP在直线2l上，点),(222yxP为直线21,ll的交点，其中3212,xxxx,则（）A.321yyyB.213yyyC.123yyyD.312yyy知识点3k,b的符号与直线y=kx+b的关系在直线y=kx+b(k≠0)中，令y=0,则x=kb-,即直线y=kx+b与x轴交于（0,b-k）.①当0k-b，即k,b异号时，直线与x轴交于正半轴；②当0k-b，即b=0时，直线经过原点；③当0k-b，即k,b同号时，直线与x轴交于负半轴。温馨提示：①直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点为（kb-，0），与y轴交点为(0，b)，且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积bkSb-21.②两直线)0(y111kbxk与)0(y222kbxk的位置关系a．当21kk，21bb时，两直线平行；b．当21kk，21bb时，两直线重合；c．当21kk，21bb时，两直线交于y轴上一点；d．当1k21k时，两直线垂直．例4关于x的一次函数y=（3a-7）x+a-2的图象与y轴的交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是____________．知识点4一次函数图象的平移直线y=kx+b(k≠0，b≠0)可由直线y=kx(k≠0)向上或向下平移得到，当b0时，将直线y=kx沿y轴向上平移b个单位长度得到直线y=kx+b;当b0时，将直线y=kx沿y轴向下平移b个单位长度，得到直线y=kx+b．温馨提示：①对于直线2211bxkybxky与如果2121bbkk且，那么这两条直线平行，显然这两条直线可通过平移互换位置。②一次函数y=kx+b沿着y轴向上(“+”)、’下（“-”）平移m(m0)个单位得到一次函数y=kx+b±m；一次函数y=kx+b沿着x轴向左(“+”)、右（“-”）平移n(n0)个单位得到一次函数y=k(x±n)+b.一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示方式。例5如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，-2），则kb=_________。知识点5一次函数与正比例函数的区别与联系正比例函数一次函数区别一般形式y=kx(k是常数，且k≠0)y=kx+b(k,b是常数，且k≠0）图象经过原点的直线直线k,b符号的作用k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点的位置；k,b的符号共同决定直线经过的象限。求解析式的条件只需要一对x,y的对应值或一个点的坐标需要两对x,y的对应值或两个点的坐标联系①正比例函数是特殊的一次函数；②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需要两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可。③一次函数y=kx+b（k≠0)的图象可以看作是正比例函数y=kx(k≠0)的图象沿y轴向上（b0)或向下（b0)平移b个单位长度得到的。由此可知直线y=kx+b（k≠0)与直线y=kx(k≠0)平行。④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a.当k0时，y的值随x的增大而增大；b.当k0时，y随x的值的增大而减小。方法清单：1.一次函数的图象与性质的应用方法2.由k，b的值确定直线的位置及增减性的方法3.一次函数的平移规律的应用方法4.计算与坐标轴围成的三角形的面积的方法5.利用一次函数图象解决实际问题的方法6.一次函数的交点坐标的实际应用方法方法1一次函数的图象与性质的应用方法(1)从函数图象的形状可以判断函数的类型．对于实际问题中的正比例函数和一次函数的图象，大多为线段或射线，因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定限制的，即自变量的取值范围必须使实际问题有意义．(2)-次函数y=kx+b（k≠0）的性质主要是指函数的增减性，即y随并的变化情况，它只和k的符号有关，与b的符号无关，k0；y随x的增大而增大；k0，y随x的增大而减小．反之，若y随x的增大而增大，则必有k