《计算物理》第三章习题参考答案

第三章《蒙特卡罗方法的若干应用》习题参考答案1.解：一般地[1]，首先定义n-维欧几里得空间球坐标r，为此，引入1个径向坐标，n-1个角坐标。以ix表示笛卡尔坐标，则11212312211212cos(),sin()cos(),sin()sin()cos(),sin()sin()cos(),sin()sin()sin().nnnnxrxrxrxrxr11nn反变换22212112212211tan(),tan(),tan().nnnnnnnnnxxxxxxxxx其中，11,2,,2[0,2],[0,].nnn-维欧几里得空间球体积元由下列Jacobian变换得出12112312212()det(,)=sin()sin()sin()innjnnnnnxdVdrdddrrd1rddd而n-维欧几里得空间球得体积由下列积分给出12120000nnRnnVdV解析地，n-维欧几里得空间球得体积为2,.(1)2nnnnnVCRCn特别地，22345345648,,,32156VRVRVRV36.R对于用MC方法计算多维球体积，可以参照多维独立随机变量分布情形抽样。下面以六维为例说明之。6,1,nR六维球体积元4326123412345sin()sin()sin()sin()dVdrddddd其中，1,2,3,45[0,1],[0,],[0,2]r.改写上述体积元6223344551234()()()()dVffffdrddddd5其中，43411322223314455()1,()sin(),()sin(),()sin(),()sin(),()1.frfffff引入6个均匀分布的伪随机数1,2,3,4,5,[0,1],使得5555,()1;2,()1;rfrf对于，由()sin,n=1,2,3,4nnf122cos()1cos(cos)cos(())()nndfhdh其中，12211()(1),[1,1];cos(),()cos().nxxxxgxgh首先可以产生满足()x分布的伪随机数序列，为此，我们注意到12212011,()(1)(),[0,1]nnxxxyyy用第一类舍选法抽样，可得1212max(,,,),cos12max(,,,).nnyx由此得所求的伪随机数序列112cos12max(,,,),()sin.nnnf具体地，141123441132123321231223141144cos12max(,,,),()sin;cos12max(,,),()sin;cos12max(,),()sin;cos12,()sin.ffff123[1]seethereferencefrom解：MC计算步骤：5/25/20000()()(),().xxxxfxxedxfxdxedxfxedxfxxe1015522).[0,1],()1,1,,;).()()1,()ln;()).()()()()(ln);()).{lniixxxxiiiiiiiiiiiniigxeFxedxesetFfxiiifxgxffgiiii首先对偏倚密度函数抽样：求出在各抽样点的值：5211,1,,},I=(ln)niiiinn.3.解：函数的期望值定义为()Au{}()()EAAudGuA方差为2222222{}{()}{2}={}VAEAAEAAAAEAAAA另一方面，设VA则有2(),1,,,iAiN2222111{}{}NANiiAVANNNNVA当N足够大时，有lim()(),NNVAVA即2221.AAANN4.解：由于()()fvfv，故先讨论22(),0vfvCvev，并设.0,0C100max01111).,();).[0,1],()1,def.step[0,);iCivfiive选择初始位置：22222()2122(2)21).[0,1],()1,())min{1,}min{1,}judge:),ifit'strue,iiiiiiviiiiviviiiiiiiiCvevCvevevv引入过渡概率：(v(v1112101,thengoto)andwalkforthenextstepv;ifnot,goto)andwalkforthestepvagain.).={,,,,,},MathematicaplottingproiiiiiiiiiNvviiviiviiii00gram:ListLinePlot[{{,()},,{,()}}],NNNff其中为投点数。5.解：Metropolis方法可以对无法归一化的分布密度函数进行抽样。00max0111).0,(),0;).[0,1],()1,def.step[0,);iixfxiiAA选择初始位置：22222()212(2)22111).[0,1],()1,)min{1,}min{1,}judge:),ifit'strue,,theniiiiiixiixxiiiiiiiiieveexxxx引入过渡概率：(v(2121201goto)andwalkforthenextstep;ifnot,goto)andwalkforthestepagain.).={,,,,,},().iiiiiiNiiixxiixxiiiifAe