差分方程模型在交通流计算中的应用研究-周林华

收稿日期：2013-11-05基金项目：国家自然科学基金（51278221，51378076）作者简介：周林华（1981-），男，博士，E-mail：[e-mail]通讯作者：李延忠（1965-），男，博士，教授，博士生导师，E-mail：[e-mail]长春理工大学学报（自然科学版）JournalofChangchunUniversityofScienceandTechnology（NaturalScienceEdition）Vol.37No.2Apr.2014第37卷第2期2014年4月差分方程模型在交通流计算中的应用研究周林华，胡宏华，梁辰，刘琪，李军，李延忠（长春理工大学理学院，长春130022）摘要：针对交通流计算中车道被占对道路通行能力的影响以及所导致的车辆排队长度等问题，本文给出了一种能快速计算车辆排队长度的数学模型，且以此可以分析不同车道被占对道路实际通行能力的影响。首先明确道路实际通行能力的定义，并将车道被占后的时间离散化，然后根据车辆流动数量关系建立车辆排队长度的差分方程计算模型。通过实际视频资料的验证，利用差分方程模型计算的结果能很好地与实际情况相吻合。该研究结果能用于车道被占后，为上游路口车辆放行数量与放行方向等交通信号控制提供预判依据。关键词：交通流；差分方程；道路通行能力中图分类号：U491.1+12文献标识码：A文章编号：1672-9870（2014）02-0117-07ResearchonDifferenceEquationModelinTrafficFlowCalculationZHOULinhua，HUHonghua，LIANGChen，LIUQi，LIJun，LIYanzhong（SchoolofScience，ChangchunUniversityofScienceandTechnology，Changchun130022）Abstract：Inordertoanalyzetheinfluenceofanaccidentontheroadcapacityandcalculatethevehiclequeuelength，amathematicmodelwasprovided，whichcouldquicklyobtainthevehiclequeuelength.Firstly，thedefinitionoftheactualroadcapacityismadesure，andafterthelanebeingoccupiedthetimediscretizationisgot，thenadifferenceequationmodelwasproposedbasedonthequantitativerelationofthevehicle.Thefeasibilityofthedifferenceequationmodelisverifiedbyactualvideodata.Theresultscouldbeusedtoprovidebasisofpredictionsofthevehiclesreleasequantityandorientationintheupstreamintersectionwhenthelanesareoccupied.Keywords：trafficflow；differenceequation；roadcapacity由于城市化进程的加快，交通问题日趋严重，因此对于交通流问题的正确了解与分析成为解决交通问题的关键。交通流问题理论是分析研究道路上行人和机动车辆（主要为汽车）在个别或成列行动中的规律，探讨车流流量、流速和密度之间的关系，以求减少交通时间的延误，事故的发生和提高道路交通设施使用效率的理论。目前对此研究的方法主要有概率论方法，流体力学方法和动力学方法等，其中动力学方法［1］，即跟车理论，就是在交通流中追随前车的后车，假设其向前移动有某种规律性，据此可求得各车辆动力学状态的微分方程式。后两种方法使用较多，主要应用于道路服务水平与通行能力的评价，交通量与交通事故预测，交通信号控制和估算、消除汽车排队长度等方面。对道路实际通行能力给出了定义，然后利用差分方程［2，3］建立了车辆排队长度的计算模型，进而可以讨论交通流问题中车道被占用对车辆排队长度的影响，为上游车辆放行数量与方向等交通信号控制提供预判依据；利用两个具体的视频材料对模型进行了验证分析，结果表明差分方程模型能很好的与实际情况吻合。1道路实际交通能力及车辆排队长度计算的数学建模1.1道路实际通行能力为了研究车道被占对道路实际通行能力的影周林华，等：差分方程模型在交通流计算中的应用研究长春理工大学学报（自然科学版）2014年响，分析了道路通行能力的变化过程。以往采用单位时间内通过某横截面的标准车当量数作为对实际通行能力的定义［4］。然而，当道路有交通事故发生时，在事故横截面处的交通情况有时为通畅状态，有时为拥堵状态，若仍然沿用通常定义并不合理。因此，本文对单位时间内道路横断面处的实际通行能力分为两种情况讨论，如下所示，各变量定义见表1。单位时间内的道路实际通行能力ìíîïïïïïïïï情况一：不发生交通拥堵Qx=Cb×N×Fw×Fhv×Fp情况二：发生交通拥堵Qx=n（n为单位时间内通过横断面的标准车当量）表1上式中符号说明CbNFwFhvPhvEhvFp基本（理论）通行能力单向车行道的车道数车道宽度和侧向净宽对通行能力的修正系数大型车对通行能力的修正系数大型车交通量占总交通量的百分比大型车换算成小客车的车辆换算系数驾驶员条件对通行能力的修正系数，一般在0.9-1之间1.2道路实际通行能力变化过程当有车辆在道路上发生碰撞并占用了若干可通行的车道后，从车祸开始到车辆撤离期间，事故车辆影响了道路的正常通行能力，致使道路实际通行能力不断发生变化。为了研究不同车道被占对道路实际通行能力的影响，计算车辆排队长度，此处我们先明确道路实际通行能力的离散变化过程。将从车辆发生碰撞开始到车辆撤离的时间以均等的间隔离散化，计算每个单位时间段内实际通行能力，从而可以得出整个时间段内的实际交通能力变化过程，具体实现方法如下。第一步，时间离散化。将从车辆发生碰撞开始到车辆撤离的时间，均等的分为n份，分别记为t1,t2,⋯,tn。第二步，测算第一个时间段t1的道路实际通行能力。根据该时间段内是否有交通拥堵分为两种情况处理，采用标准小汽车当量数计算换算车辆的标准车当量［4］。1）情况一：当车辆正常通行时，实际通行能力可由文献［4］给出的方法计算得到（符号说明如表一所示）：Qx=Cb×N×Fw×Fhv×Fp（1）其中，Fhv=1/[1+Phv(Ehv-1)]。基本（理论）通行能力指在理想的道路和交通条件下，单位时间一个车道或一条道路某一路段通过小汽车最大数，是计算各种通行能力的基础。2）情况二：当车辆处于拥堵状态时，实际通行能力由道路在该单位时间内通过横断面的实际标准车当量n1计算得到，即有Q1=n1（2）第三步：测算第2个时间段t2的交通通行能力Q2。……第n步：测算第n个时间段tn的交通通行能力Qn。最终，当有车辆在道路上发生碰撞时，在从车辆发生碰撞开始到车辆撤离的时间段t与道路实际通行能力Q即为对应关系。1.3车辆排队长度计算模型当道路发生堵塞时，等候车辆的排队长度能真实地反映出道路的实际通行能力。延续上一小节利用时间离散化的思想来处理车辆排队长度和路段上游车流量等之间的关系，本小节我们将根据离散动态系统的方法建立差分方程模型［5，6］。在单位时间内，车辆当前的排队长度等于上一个单位时间末的车辆排队长度与此单位时间段内的车辆排队长度之和。由于在各个车道中，车流量比例占最大值的车道对车辆排队长度起到决定作用，因而单位时间段内排队长度等于排队车辆数（上游车流量减去实际通行能力）乘以所有车道流量比例的最大值，再乘以车辆平均长度与车辆间的最小安全距离总长度之和。于是，我们可以得到计算车辆排队长度的离散化差分方程模型：Ln=Ln-1+k[(Rn-Qn)(l0+d)-d]（3）其中，Ln-1与Ln分别为第n-1和第n个时间段的车辆排队长度，k即为所有车道流量比例的最大值，其余符号说明见表2。为了得到Ln的最终计算公式，我们逐个时间段计算车辆排队长度：第一步：第一个单位时间段内的车辆排队长度L1=L0+k[(R1-Q1)(l0+d)-d]（4）第二步：第二个单位时间段内的车辆排队长度L2=L1+k[(R2-Q2)(l0+d)-d]（5）……第n步：第n个单位时间段内的车辆排队长度Ln=Ln-1+k[(Rn-1-Qn-1)(l0+d)-d]（6）118最终整理可得Ln与初始车辆排队长度L0、上游车流量Rn、所有车道流量比例中的最大值k等之间的关系式：Ln=L0+∑i=0nk[(Ri+1-Qi+1)(l0+d)-d]（7）表2车辆排队长度公式中符号说明LnRnQnl0da,b,c...k第n个单位时间时车辆排队长度第n个单位时间时路段上游车流量第n个单位时间时事故横断面实际通行能力通行车辆平均车长通行车辆最小安全距离每个车道的流量比例所有车道流量比例中的最大值2模型验证本节我们利用两段实际交通事故视频资料（下面简记为视频一和视频二）检验差分方程模型的合理性。充分考虑事故所占车道的不同、事故持续时间、路段上游车流量等因素对道路实际通行能力的影响，计算交通事故路段车辆排队长度并与实际情况相比较。由于缺少相关专业软件对视频资料进行等时长车辆查数，本文采用慢速播放人工查数的办法处理视频资料，获得了视频资料中车辆直行与左右转弯的比例数，事故横断面以及上游路口在单位时间（10秒）内通过的车辆数，并换算为了标准单位。2.1视频一交通事故横断面实际通行能力变化过程视频一事故车辆占用二、三车道，每个车道的流量比例如图1所示，分别是21%，44%，35%，事故持续时间为20分钟。图1视频一事故道路情况第一步，时间离散化。从事故发生到车辆撤离共约20分钟，由于上游路口路灯相位周期为30秒，为了降低路灯信号周期对进入事故发生车道车流量的影响，规定以10秒为单位时间，得到数据共85组，分别为t1,t2,...,t85。第二步，测算第一个时间段t1的实际通行能力。时间段内，车辆正常通行，无拥堵状态，故该时间段内实际通行能力符合情况一：Q1=Cb×N×Fw×Fhv×Fp=3.5pcu/10s（8）第三步，测算第二个时间t2段的实际通行能力。时间段内，车辆处于拥堵状态，故该时间段内实际通行能力符合情况二：Q2=3pcu/10s（9）……第八十五步，测算第85个时间t85段的实际通行能力Q85=4.5pcu/10s（10）于是，所求通行能力变化过程可用表3表示。表3实际通行能力随时间变化情况（pcu/h）tii=1i=2i=3i=4i=5i=6i=7i=8i=9i=10i=11i=12i=13i=14i=15i=16i=17实际通行能力12601080126010801440126014401080144016201080126010801880188018801880tii=18i=19i=20i=21i=22i=23i=24i=25i=26i=27i=28i=29i=30i=31i=32i=33i=34实际通行能力28801800180016201800144014401260162012601620144018801260144014401260tii=35i=36i=37i=38i=39i=40i=41i=42i=43i=44i=45i=46i=47i=48i=49i=50i=51实际通行能力1440180016201800162014401440108012601080108010801080126072010801080tii=52i=53i=54i=55i=56i=57i=58i=59i=60i=61i=62i=63i=64i=65i=66i=67i=68实际通行能力72012601080720108010