数学归纳法应用举例数学选修22第2章推理与证明人教B版

中国人民大学附属中学2.3.2数学归纳法应用举例例1．用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236nnnn证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，即2222(1)(21)1236kkkk那么222222(1)(21)123(1)(1)6kkkkkk22(1)(21)6(1)(1)(276)66(1)((2)(23)(1)[(1)1][2(1)1]66kkkkkkkkkkkkk这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。例2．证明：平面上n个圆最多把平面分成n2－n+2个区域。证明：（1）一个圆将平面分成2个区域，而当n=1时，n2－n+2=2，因此结论当n=1时成立；（2）假设当n=k时，结论成立，即k个圆最多把平面分成k2－k+2个区域。在此基础上，为使区域最多，应使新增加的圆与前k个圆都交于两点，于是新增2k个交点，这2k个交点将新圆分成2k段弧，这2k段弧将所经过的区域一分为二，因此新增2k个区域，这样k+1个圆最多把平面分成(k2－k+2)+2k=(k+1)2－(k+1)+2个区域，这就是说，当n=k+1时，结论也正确，由（1）和（2）可以断定，结论对任何n∈N+都正确。例3．求证：当n≥5时，2nn2，证明：（1）当n=5时，25=32，52=25，因此2552，即n=5时，结论正确；（2）假设当n=k(k≥5)时，这个命题是正确的，那么由2kk2得122222kkk222521(1)kkkkk≥这就是说，当n=k+1时，命题也是正确的.由（1）和（2）可以断定，这个命题对于所有大于或等于5的正整数n都正确。例4．求证：凸n边形的对角线的条数为(3)(),(4)2nnfnn≥证明：（1）当n=4时，四边形的对角线有2条，f(4)=2，所以对于n=2，命题成立.（2）设凸k边形的对角线的条数为(3)(),(4)2kkfkk≥当n=k+1时，k+1边形比k边形多了一个顶点,该顶点与原k边形中的(k－2)个顶点可连成(k－2)条对角线，而原来的一条边也变成对角线，故(k+1)边形比k边形增多了(k－1)条对角线,所以(3)(1)(1)2kkfkk22322222kkkkk(1)[(1)3]2kk即n=k+1时，命题成立。由（1）、（2）可知，凸n边形的对角线的条数为(3)(),(4)2nnfnn≥例5．求证当n为正奇数时7n+1能被8整除.证明：(1)n=1时，71+1=8能被8整除；(2)假设n=k(k为正奇数)时7k+1能被8整除(设7k+1=8M，M∈N)则当n=k+2时，7k+2+1=72·7k+72－72+1=72(7k+1)－48=49×8m－8×6=8(49M－6)∵49M－6∈N∴命题成立由（1）、（2）可知当n为正奇数时7n+1能被8整除．