函数模型的应用实例

学习目标：1、找出简单的实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数解决实际问题；2、综合运用所学函数建立分段函数模型，并对实际问题加以解答.0.200.300.05302040010250北京一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份元，卖出的价格是每份元，卖不掉的报纸以每份的价格退回报社。在一个月(按天计)中，有天每天可卖出份，其余天每天只能卖出份，但每天进货量必须相同，问摊主每天要进多少份，才能使得每月获利最大？xy解：设每天进货量为份，每月获利为元,201025003002010250020005()(..)()(..)yxx05625.x250400,xQ05625250400.[,]yx且函数在上单调递增，40005400625825max.()xy当时，有元400825.答：每天进份报纸，可使得每月利润最大为元例3一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间关系如图所示(1)求图中阴影部分的面积，说明所求面积的实际含义；解：（1）阴影面积为：50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360含义：表示汽车5小时内行驶的路程为360km。分段函数模型例3一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间，关系如图所示(2)根据图表请写出速率v关于时间t的函数关系式；从图上很明显看出汽车在每一小时都有固定速率，而进入下一小时后速率则变为另一个固定值，这是很明显的分段函数特征。v50,01t80,12t90,23t75,34t65,45t一次函数模型s200450,01tt205480(1),12tt213490(2),23tt222475(3),34tt229965(4),45tt（3）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s(km)，与时间t(h)的函数解析式，并作出相应图象。200450,01197480,12195490,23199975,34203965,45ttttstttttt即分段函数模型()st函数图象如右：200450,01197480,12195490,23199975,34203965,45ttttstttttt即P9212.(2015年山东济南高一模拟)在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息).根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种固定开支2000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费和各种固定开支后的余额最大？并求最大余额.(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【解析】设该店月利润余额为L，则由题设得：L＝Q(P－14)×100－3600－2000.①由销量图，易得Q＝－2P＋50，14≤P≤20，－32P＋40，20＜P≤26，代入①式，得L＝－2P＋50P－14×100－5600，14≤P≤20，－32P＋40P－14×100－5600，20＜P≤26.(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450(元)，此时P＝19.5(元)；当20＜P≤26时，Lmax＝12503(元)，此时P＝613(元).故当P＝19.5(元)时，月利润余额最大，最大余额为450元.(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20，即最早可望在20年后脱贫.例5某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得更大利润？40减少40减少40销售单价每增加1元，销量减少单价/元6789101112日均销量/桶480440400360320280240构建函数模型例5某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所图示，求最大利润？,xy解：设在进价的基础上，日均增加元销售利润为元则日均销售量为48040(1)52040()xx桶Q0520400013xxx，且，2(52040)20040520200yxxxx6.5x当时，即单价定为240(6.5)1490x单价/元6789101112日均销量/桶480440400360320280240(013)x11.51490.y元时，日均销售利润有最大值为元解：由表可得，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶。设销售单价定为x元，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为：480-40(x-6)=720-40x（桶）由x5，且720-40x0，即5x18，于是可得：y=(x-5)(720-40x)-200=-40x2+920x-3800，5x18易得，当x=11.5时，y有最大值。答：只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。例5某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所图示，求最大利润？单价/元6789101112日均销量/桶480440400360320280240P898.某服装厂某年1月份、2月份、3月份分别生产某名牌衣服1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测当年每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模型模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用函数y＝p·qx＋r(其中p，q，r常数)或二次函数.又已知当年4月份该产品的产量为1.36万件，用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.【解析】若模拟函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知得a＋b＋c＝1，4a＋2b＋c＝1.2，9a＋3b＋c＝1.3，解得a＝－0.05，b＝0.35，c＝0.7，则有y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.因此当x＝4时，y＝1.3.函数拟合若模拟函数为y＝p·qx＋r，由已知得pq＋r＝1，pq2＋r＝1.2，pq3＋r＝1.3，解得p＝－0.8，q＝0.5，r＝1.4，则有y＝－0.8×0.5x＋1.4.因此当x＝4时，y＝1.35.1.35比1.3更接近1.36.故应将y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数.相关练习P90第12题2、向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水位h的关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）HhVABCDBo3ht、设计四只杯子，使得向杯里匀速注水时，杯中水面高度随时间变化的图象分别如下：OthOthOthOthP64【示例】如图所示，圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播.若D是DFE与x轴的交点，设OD＝t(0≤t≤a)，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过菱形OABC的面积为S(图中阴影部分)，则函数S＝f(t)的图象大致是()【正解】从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到A，C点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快；当离开A，C点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢.所以函数图象刚开始应是下凹的，然后是上凸的.故选A．【警示】函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢.下凹函数图象正好相反.1()()yt例、如图折线是某通讯公司规定打长途电话所需付给的电话费元与通话时间分钟之间的函数关系，填空：(1)2_____(2)5_____(3)3()()tyt通话分钟，需付费元；通话分钟，需付费元；当时，电话费元与通话时间分钟间的函数关系式_________30tyktbk解：当时，可设（），3.66Q(3,3.6)(5,6)33.656kbkb函数图象过点和点1.20kb解得1.2(3)yttO3.66/y元35t/分钟一次函数模型810100110例2将进货单价为元的商品按元一个出售，则每天可出售个，若每个涨价元，则日销售量减少个，为获得最大利润，应将单价定为_______元。10,x解：设单价在元的基础上涨价元则二次函数模型(10)(10010)xx则实际售价为元，销售量为个，(10)(10010)8(10010)yxxx利润22108020010(4)360xxx414.x则当时，即单价定为元时，有最大利润010,x【题型归纳】建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题。注意：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与x所取区间之间的位置关系讨论求解.22(12)12(6)36Sxxxxx面积1、用长度为24m的材料围成一个矩形家禽养殖场，要使矩形面积最大，则矩形的长为()A、3B、4C、6D、12C变式：如图，若要在场地中间再加两道隔墙，则隔墙长为多少时面积最大？即隔墙长3m时，面积最大.12),xmxm解：设矩形长，则宽为(22(122)2122(3)18Sxxxxx面积244(122),2xxmmxm解：设矩形长，则宽为，即x随堂练习50()2200(150,),130()30(130,),220()45(3150,),(1)()()(2)()()(3).fttttNgttttNgtttNgttStS2、某商品过去天销售量满足前天的单价为后天的单价为列出单价关于时间天的函数关系式；写出日销售额元与时间天的函数关系式；求日销售额的最大值130130(1)(),2453150tttNgtttN，且解：，且250()2200(150,),130()30(130,),220()45(3150,),(1)()()(2)()()(3).fttttNgttttNgtttNgttStS、某商品过去天销售量满足前天的单价为后天的单价为列出单价关于时间天的函数关系式；写出日销售额元与时间天的函数关系式；求日销售额的最大值130130()2453150tttNgtttN，且，且(2)1(30)(2200)130()()245(2200)3150ttttNSgtfttttN根据题意可得，且，且24060001309090003150ttttNStttN，且即，且250()2200(150,),130()30(130,),220()45(3150,),(3).fttttNgttttNgtttNS、某商品过去天销售量满足前天的单价为后天的单价为求日销售额的最大值2406000130(3)9090003150ttttNStttN，且，且130ttN当且时，22406000(20)6400,Stttmax206400;tS此时时有3150909000tttNS当且时，单调递减，max3162106400,tS此时当时有206400.，当销售时间为天时，日销售额最大为综所述元上指数函数型例4.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malt