人教版高中数学选修44课件21曲线的参数方程第一课时1

第二讲参数方程一曲线的参数方程第1课时参数方程的概念、圆的参数方程【自主预习】1.曲线的参数方程的定义一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数________①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程.变数t叫做参变数,简称_____.xft,yg(t)参数2.圆的参数方程圆心和半径圆的坐标方程圆的参数方程圆心O(0,0),半径rx2+y2=r2圆心C(a,b),半径r(x-a)2+(y-b)2=r2xrcos,yrsinxarcos,ybrsin【即时小测】1.曲线(θ为参数)围成图形的面积等于()A.πB.2πC.3πD.4πx12cosy32sin，【解析】选D.曲线即(θ为参数)表示圆心为(-1,3),半径为2的圆,所以面积等于4π.x12cosy32sin，，x12cosy32sin，，2.已知(t为参数),若y=1,则x=________.【解析】若y=1,则t2=1,则t=±1,x=0或2.答案:0或22xt1yt，【知识探究】探究点参数方程的概念、圆的参数方程1.曲线的参数方程中参数的实际意义是什么?提示:在曲线的参数方程中,参数可以有明确的几何意义,也可以有明确的物理意义,如时间、旋转角等.当然也可以是没有实际意义的变数.2.圆的参数方程中参数的几何意义是什么?提示:(1)圆的参数方程中参数θ的几何意义:射线Ox绕点O逆时针旋转到OM(M(x,y)是圆上的任意一点)位置时转过的角度.如图所示.xrcosyrsin，(2)圆的参数方程中参数θ的几何意义:如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意义是CM0绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任意一点)位置时转过的角度.xarcosybrsin，【归纳总结】1.曲线的参数方程的理解与认识(1)参数方程的形式:曲线上点的横、纵坐标x,y都是变量t的函数,给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因而得出唯一的对应点;但是横、纵坐标x,y之间的关系并不一定是函数关系.(2)参数的取值范围:在表示曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围.因为取值范围不同,所表示的曲线也会有所不同.2.参数方程与普通方程的统一性(1)参数的作用:参数是间接地建立横、纵坐标x,y之间的关系的中间变量,起到了桥梁的作用.(2)参数方程与普通方程的转化:曲线的普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系,而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系.特别提醒:普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.类型一参数方程的表示与应用【典例】已知曲线C的参数方程是(t为参数,a∈R)点M(-3,4)在曲线C上.(1)求常数a的值.(2)判断点P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线C上.2x12tyat，，【解题探究】典例中如何求常数的值?如何判断点与曲线的位置关系?提示:为了求常数的值,只需将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x,y,消去参数t,求a即可.要判断点与曲线的位置关系,只要将点的坐标代入曲线的参数方程检验即可,若点的坐标是方程的解,则点在曲线上,否则,点不在曲线上.【解析】(1)将点M(-3,4)的坐标代入曲线C的参数方程得消去参数t,解得a=1.2x12t,yat,2312t,4at,(2)由上述可得,曲线C的参数方程是将点(1,0)的坐标代入参数方程得得t=0,因此点(1,0)在曲线C上.将点(3,-1)的坐标代入参数方程得方程组无解,因此点(3,-1)不在曲线C上.2x12t,yt,2112t,0t,2312t1t，，【方法技巧】点与曲线的位置关系(1)动点的轨迹:满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线,点与曲线的位置关系有两种:点在曲线上,点不在曲线上.(2)对于曲线C的普通方程f(x,y)=0,若点M(x1,y1)在曲线上,则点M(x1,y1)的坐标是方程f(x,y)=0的解,即有f(x1,y1)=0.若点N(x2,y2)不在曲线上,则点N(x2,y2)的坐标不是方程f(x,y)=0的解,即有f(x2,y2)≠0.(3)对于曲线C的参数方程(t为参数)若点M(x1,y1)在曲线上,则对应的参数t有解,否则无解,即参数t不存在.xft,ygt,11xft,yg(t)【变式训练】已知曲线C的参数方程为(t为参数).(1)判断点A(1,0),B(3,2)与曲线C的位置关系.(2)若点M(10,a)在曲线C上,求实数a的值.2xt1,y2t【解析】(1)把点A(1,0)的坐标代入方程组,解得t=0,所以点A(1,0)在曲线上.把点B(3,2)的坐标代入方程组,得即故方程组无解,所以点B不在曲线上.23t1,22tt2,t1,(2)因为点M(10,a)在曲线C上,所以解得所以a=±6.210t1,a2t,t3,t3,a6a6.或类型二求曲线的参数方程【典例】长为3的线段两端点A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动,点P的轨迹为曲线C.(1)以直线AB的倾斜角α为参数,求曲线C的参数方程.(2)求点P到点D(0,-2)距离的最大值.AB3AP，【解题探究】典例中点P是线段AB的几等分点?如何建立点的坐标的参数方程?如何求距离的最大值?提示:点P是线段AB的一个三等分点,利用三角函数建立点的坐标的参数方程.建立距离的目标函数,转化为二次函数求最大值.【解析】(1)设P(x,y),由题意,得所以曲线C的参数方程为x2cos,)ysin.2（为参数，＜＜2xABcos2cos,31yABsinsin,3(2)由(1)得|PD|2=(-2cosα)2+(sinα+2)2=4cos2α+sin2α+4sinα+4=-3sin2α+4sinα+8=当时,|PD|取得最大值22283(sin).332sin3221.3【方法技巧】求曲线的参数方程的注意事项(1)求曲线的参数方程关键是确定参数,本题以线段所在直线的倾斜角为参数,通过解直角三角形得到曲线上动点坐标的三角函数方程.(2)求两点间距离的最大值的关键是利用参数方程建立目标函数,通过配方法求函数的最值,要注意函数的定义域.【变式训练】1.若x=t-1(t为参数),求直线x+y-1=0的参数方程.【解析】把x=t-1代入x+y-1=0,得y=-t+2,所以直线x+y-1=0的参数方程为xt1tyt2.，（为参数）2.已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动,顶点B在x轴的非负半轴上移动,求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程.【解析】如图,设C(x,y),∠ABO=θ,过点C作x轴的垂线段CM,垂足为M.则所以（θ为参数，0≤θ≤）为所求.2CBM,32xacosacos(),32yasin()32类型三圆的参数方程与应用【典例】(2016·漳州高二检测)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线.x4cost,y3sintx8cos,y3sin(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.2x32t,y2t【解题探究】(1)如何根据参数方程判断曲线的形状?提示:将参数方程化为普通方程再判断曲线形状.(2)如何求点到直线距离的最小值?提示:利用参数方程化为三角函数的最小值求解.【解析】(1)由曲线C1:(t为参数)得利用三角函数的平方和公式消去参数t,得C1:(x+4)2+(y-3)2=1,曲线C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.同理,得C2:曲线C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.x4cost,y3sintx4cost,y3sint,22xy1649，(2)当t=时,P(-4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故C3为直线x-2y-7=0,M到C3的距离d=|4cosθ-3sinθ-13|=|5cos(θ+φ)-13|,当cos(θ+φ)=1时,d取得最小值23M24cos,2sin.2()555585.5【方法技巧】(1)圆的参数方程中的参数是角,所以圆上的点的坐标是三角函数.(2)与距离有关的最大值或最小值问题,常常利用圆的参数方程转化为三角函数解决.【变式训练】1.(2016·合肥高二检测)设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为的点的个数为()A.1B.2C.3D.4x23cos,y13sin71010【解析】选B.曲线C:(θ为参数)的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,表示圆心C(2,-1),r=3的圆,由于圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离为x23cos,y13sin2327710d,101010又r-2d=所以r-dd,所以圆C上到l距离为的点有2个.1410301410301010，710102.已知点Q是圆上的动点,则|PQ|的最大值是________.13P()22，，xcosysin，（为参数）【解析】由题意,设点Q(cosθ,sinθ),则故|PQ|max=答案:22213PQcos(sin)22（）23sincos22sin(,6）222.自我纠错参数方程表示曲线的判断【典例】(2016·漳州高二检测)参数方程为(t为参数)表示的曲线是()A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线1xtty2，【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是忽视了参数的取值范围从而导致缩小了x的取值范围.正确解答过程如下:【解析】选D.由参数方程(t为参数),得t≠0,当t0时,x=t+≥2;当t0时,x=所以参数方程化为普通方程为y=2(x≤-2或x≥2),所以表示两条射线.1xtty2，1t11tt2.tt()