数学人教A版选修41课件22圆内接四边形的性质与判定定理

-1-二圆内接四边形的性质与判定定理-2-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.了解圆内接四边形的概念,掌握圆内接四边形的性质定理及其应用.2.理解圆内接四边形的判定定理及其推论,并能解决有关问题.3.了解反证法在证明问题中的应用.-3-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12341.性质定理1文字语言圆的内接四边形的对角互补符号语言若四边形ABCD内接于圆O,则有∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°图形语言作用证明两个角互补-4-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做1】四边形ABCD内接于圆O,∠A=25°,则∠C等于()A.25°B.75°C.115°D.155°解析:∵四边形ABCD内接于圆,∴∠A+∠C=180°.又∵∠A=25°,∴∠C=180°-∠A=155°.答案:D-5-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12342.性质定理2文字语言圆内接四边形的外角等于它的内角的对角符号语言四边形ABCD内接于☉O,E为AB延长线上一点,则有∠CBE=∠ADC图形语言作用证明两个角相等-6-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做2】如图,四边形ABCD内接于圆O,延长AB到点E,若∠ADC=32°,则∠CBE等于()A.32°B.58°C.64°D.148°解析:∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠CBE=∠ADC=32°.答案:A-7-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234归纳总结1.利用这两个性质定理,可以借助圆变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.2.利用这两个定理可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形等.-8-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12343.圆内接四边形判定定理文字语言如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形ABCD中,如果∠B+∠D=180°(或∠A+∠C=180°),那么A,B,C,D四点共圆图形语言作用证明四点共圆-9-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做3】下列四边形的四个顶点共圆的是()A.梯形B.矩形C.平行四边形D.菱形答案:B-10-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12434.推论文字语言如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形ABCD中,延长AB到点E,若∠CBE=∠ADC,则A,B,C,D四点共圆图形语言作用证明四点共圆归纳总结性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定理2和判定定理的推论互为逆定理.-11-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1243【做一做4】如图,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且BC=BE,∠D=80°,∠E=50°.求证:四边形ABCD内接于圆.证明:∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.则∠EBC=180°-2∠E=80°,∴∠EBC=∠D.∴四边形ABCD内接于圆.-12-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.圆内接四边形的性质定理与判定定理剖析:(1)圆的内接四边形的外角及内对角如图,圆内接四边形ABCD的内角∠BAD的两个补角∠1和∠2称为圆内接四边形的外角.因为∠BAD和∠C两角相对,所以∠C称为∠1与∠2的内对角,且它们满足∠BAD+∠C=180°,∠1=∠2=∠C.(2)判定定理与性质定理的内在联系性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定理2与判定定理的推论互为逆定理.-13-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.与圆内接四边形有关的相似三角形剖析:如图,通过掌握与圆有关的相似三角形的基本图形,可以在解题过程中遵循正确的思维规律和解题步骤,对图形运用自如,融为一体,做出连贯反应.基本图形1基本图形2基本图形3-14-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航基本图形1:圆的任意内接四边形ABCD,有△AED∽△BEC,△DEC∽△AEB.基本图形2:四边形ABCD内接于☉O,AD,BC的延长线交于点F,其中相似三角形有△AED∽△BEC,△AEB∽△DEC,△CDF∽△ABF,△ACF∽△BDF.基本图形3:四边形ABCD内接于☉O,AD,BC的延长线交于点F,AB为直径,其中相似三角形有△DEC∽△AEB,△FDC∽△FBA,Rt△AFC∽Rt△BFD∽Rt△AED∽Rt△BEC.-15-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一证明四点共圆【例1】如图,在△ABC中,E,D,F分别为AB,BC,AC的中点,且AP⊥BC于点P.求证:E,D,P,F四点共圆.分析:连接PF,转化为证明∠FED=∠FPC,先利用中点证明∠FED=∠C,再利用AP⊥BC证明PF=FC,得∠C=∠FPC,即得出∠FED=∠FPC.-16-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明:如图,连接PF.∵AP⊥BC,F为AC的中点,∴PF是Rt△APC斜边上的中线.∴PF=FC,∴∠FPC=∠C.∵E,F,D分别为AB,AC,BC的中点,∴EF∥CD,ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形.∴∠FED=∠C,∴∠FPC=∠FED.∴E,D,P,F四点共圆.-17-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思判定四点共圆的方法:①如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆;②如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆;③如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆(如本题);④与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内共圆.-18-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】在锐角三角形ABC中,AD是BC边上的高,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F是垂足.求证:E,B,C,F四点共圆.-19-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明:如图,连接EF,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴A,E,D,F四点共圆.∴∠1=∠2.∵AD是BC边上的高,∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°.∴∠BEF+∠C=180°.∴B,E,F,C四点共圆.-20-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二圆内接四边形的性质的应用【例2】如图,已知四边形ABCD内接于☉O,延长AB和DC相交于点E,EG平分∠AED,且与BC,AD分别交于点F,G.求证:∠CFG=∠DGF.分析:由∠BEF=∠DEG,可证明△EBF∽△EDG,又∠BFE与∠CFG是对顶角,问题获证.-21-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明:∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠EBF=∠ADE.又EF是∠AED的平分线,则∠BEF=∠DEG,∴△EBF∽△EDG.∴∠EFB=∠DGF.又∵∠EFB=∠CFG,∴∠CFG=∠DGF.反思当已知条件中出现圆内接四边形时,常用圆内接四边形的性质定理来获得角相等或互补,从而为证明三角形相似或两条直线平行等问题创造条件.-22-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】如图,两圆☉O1,☉O2相交于点A,B.☉O1的弦BC交☉O2于点E,☉O2的弦BD交☉O1于点F.求证:(1)若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;(2)若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.-23-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明:(1)如图,连接AE,AF,AC,AD,则∠3=∠4,∠5=∠6.∴AD=AE,∴△ACE≌△AFD.故CE=DF.(2)由(1)得∠3=∠4,∠5=∠6.又∵DF=CE,∴△ACE≌△AFD,∴AD=AE,∴∠1=∠2,即∠DBA=∠CBA.又∵∠1=∠2,∴𝐴𝐷=𝐴𝐸.-24-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三易错辨析易错点:错用圆内接四边形的外角等于它的内角的对角这一定理而致错【例3】如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AB的延长线上一点,∠CBE=40°,则∠AOC等于()A.20°B.40°C.80°D.100°错解:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角,得∠CBE=∠COA=40°.故选B.错因分析:上述解答错误的原因是对性质定理2的理解不透彻,不能准确理解“外角等于它的内角的对角”的含义.所谓的“内角的对角”通常是指圆周角.-25-二圆内接四边形的性质与判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANL