数学选修45人教A版课件第二讲21比较法

第二讲证明不等式的基本方法2．1比较法[学习目标]1.理解用比较法证明不等式的一般方法与步骤(重点)．2.了解比较法分为作差比较法、作商比较法．3.会用比较法证明具体的不等式(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．作差比较法要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号：a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0.2．作商比较法依据：当b＞0时，ab＞1⇔a＞b；ab＝1⇔a＝b；ab＜1⇔a＜b．温馨提示使用作商法证明不等式a＞b时，一定要注意b＞0这个前提条件．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)当b＞0时，a＞b⇔ab＞1.()(2)当b＞0时，a＜b⇔ab＜1.()(3)当a＞0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b.()(4)当ab＞0时，ab＞1⇔a＞b.()解析：对于(1)，当b＞0时，a＞b，两边同除以b，所以ab＞1，所以(1)正确；对于(2)，当b＞0时，a＜b，两边同除以b，所以ab＜1，所以(2)正确；对于(3)，当a＞0，b＞0时，ab＞1，两边同乘以b，所以a＞b，所以(3)正确；对于(4)，当a＞0，b＞0时成立，当a＜0，b＜0时，不成立．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．若a＞b，则代数式a3＋a2b与ab2＋b3的值的大小关系是()A．a3＋a2b＜ab2＋b3B．a3＋a2b≥ab2＋b3C．a3＋a2b＝ab2＋b2D．不能确定解析：因为a＞b，所以(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a3－b3)＋(a2b－ab2)＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＋ab(a－b)＝(a－b)(a＋b)2≥0，所以a3＋a2b≥ab2＋b3.故应选B.答案：B3．已知a，b都是正实数，则下列关系式成立的是()A．aabb＝abbaB．aabb≥abbaC．aabb＜abbaD．aabb≤abba解析：因为a，b∈R＋，故abba＞0.又aabbabba＝aba·bab＝aba－b，当a＞b＞0时，ab＞1，且a－b＞0，故aabbabba＞1；当b＞a＞0时，0＜ab＜1，且a－b＜0，故aabbabba＞1；当a＝b时，aabbabba＝1.答案：B4.设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P＞Q，则实数a，b满足的条件为________．解析：P－Q＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2，因为P＞Q⇒P－Q＞0.所以ab≠1或a≠－2.答案：ab≠1或a≠－25．已知0＜x＜1，a＝2x，b＝1＋x，c＝11－x，则其中最大的是________．解析：因为0＜x＜1，所以a＞0，b＞0，c＞0.又a2－b2＝(2x)2－(1＋x)2＝－(1－x)2＜0，所以a2－b2＜0.所以a＜b.又c－b＝11－x－(1＋x)＝x21－x＞0，所以c＞b.所以c＞b＞a.答案：c类型1作差比较法证明不等式[典例1](1)已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1＞a(b＋1)；(2)已知a，b是互不相等的正数，n＞1，求证：an＋bn＞an－1b＋abn－1.证明：(1)因为a2＋b2＋1－a(b＋1)＝12[(a－b)2＋(1－a)2＋b2＋1]＞0，所以a2＋b2＋1＞a(b＋1)．(2)(an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝(a－b)(an－1－bn－1)．因为a，b∈R－，n＞1，n－1＞0，a≠b，所以当a＞b时，an－1＞bn－1，所以a－b＞0，an－1－bn－1＞0，所以(a－b)(an－1－bn－1)＞0，即an＋bn＞an－1b＋abn－1.当a＜b时，an－1＜bn－1，所以a－b＜0，an－1－bn－1＜0，所以(a－b)(an－1－bn－1)＞0，即an＋bn＞an－1b＋abn－1.因此总有an＋bn＞an－1b＋abn－1.归纳升华1．作差比较法的一般步骤为：作差→变形(因式分解或配方)→判断符号→下结论，有时需要分类讨论．2．作差比较法把比较两个实数(或式)的大小转化为判断两个实数(或式)的差的符号．其中，作差后如何变形是证明的关键，对差进行变形时要变彻底，常用的变形手段有配方、通分、有理化和分解因式等，即可以运用一切有效的恒等变形方法．为便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数、几个因式的积或一个分式等等．总之，通过变形只要能够判断出差的符号是正或负即可．[变式训练]已知a＞0，b＞0，求证：ab＋ba≥a＋b.证明：ab＋ba－(a＋b)＝（a）3＋（b）3－（a＋b）abab＝（a＋b）（a－b）2ab，因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＞0，(a－b)2≥0，所以ab＋ba－(a＋b)≥0，故ab＋ba≥a＋b.类型2作商比较法证明不等式(自主研析)[典例2]已知a，b∈R＋，求证：aabb≥(ab)a＋b2.解：aabb（ab）a＋b2＝aa－b2·bb－a2＝aba－b2.当a＝b时，aba－b2＝1；当ab时，ab1，a－b20，由指数函数的性质知aba－b2＞1，当ab时，0ab1，a－b20，由指数函数的性质知aba－b21.所以aabb≥(ab)a＋b2.归纳升华使用作商法证明不等式a＞b时，一定要注意b＞0这个前提条件，其一般的证明步骤为：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)下结论．[变式训练]已知a≥1，利用作商比较法，求证：a＋1－a＜a－a－1.证明：左边右边＝a＋1－aa－a－1＝a＋a－1a＋1＋a＜1，又a＋1－a＞0，a－a－1＞0.所以原不等式成立．1．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用a＞b⇔a－b＞0)，还有作商比较法即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1.作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变形是关键，目的在于能判断差的符号．为便于判断差式的符号．通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式．多项式不等式、分式不等式或对数不等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与1的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值与1的大小是用比较法证明不等式的难点．2．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．