高中数学人教版选修11配套课件第2章圆锥曲线与方程222

2.2.2双曲线的简单几何性质第二章§2.2双曲线1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一双曲线的几何性质标准方程(a0，b0)(a0，b0)图形x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1答案性质范围__________________________对称性对称轴：_______对称中心：_____顶点坐标_________，________________，________实轴和虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线y＝___y＝___离心率e＝______________x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a坐标轴原点A1(－a,0)A2(a,0)A1(0，－a)A2(0，a)±bax±abxca，e∈(1，＋∞)知识点二等轴双曲线实轴和虚轴的双曲线叫做，它的渐近线是.思考(1)椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？答案不一样.椭圆的离心率0e1，而双曲线的离心率e1.(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？答案当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，等长等轴双曲线y＝±x如具有相同的渐近线y＝±bax的双曲线可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ0时，焦点在x轴上，当λ0时，焦点在y轴上.答案返回题型探究重点突破解析答案题型一已知双曲线的标准方程求其几何性质例1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.解将9y2－4x2＝－36化为标准方程x29－y24＝1，即x232－y222＝1，∴a＝3，b＝2，c＝13.因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点为F1(－13，0)，F2(13，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程为y＝±bax＝±23x.反思与感悟解析答案跟踪训练1求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.解将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程y24－x212＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝23，∴c＝a2＋b2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝43.焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝±33x，离心率e＝2.解析答案题型二根据双曲线的几何性质求标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；解依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又ca＝135，∴a＝5，b＝c2－a2＝12，故其标准方程为y225－x2144＝1.解析答案(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3).反思与感悟解析答案跟踪训练2根据条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线x29－y216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)；解设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，由题意可知－329－23216＝λ，解得λ＝14.∴所求双曲线的标准方程为x294－y24＝1.解析答案(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2).解设所求双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1(16－k0，4＋k0)，解得k＝4或k＝－14(舍去).∴所求双曲线的标准方程为x212－y28＝1.∴32216－k－44＋k＝1，∵双曲线过点(3，2)，2解析答案题型三直线与双曲线的位置关系例3直线l在双曲线x23－y22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l的方程.反思与感悟解析答案跟踪训练3设双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.(1)求实数a的取值范围；解将y＝－x＋1代入双曲线方程x2a2－y2＝1(a0)，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.依题意有1－a2≠0，Δ＝4a4＋8a21－a20，所以0a2且a≠1.解析答案(2)设直线l与y轴的交点为P，若PA→＝512PB→，求a的值.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得P(0,1)，因为PA→＝512PB→，所以(x1，y1－1)＝512(x2，y2－1).由此得x1＝512x2.由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，所以1712x2＝－2a21－a2，512x22＝－2a21－a2.消去x2得－2a21－a2＝28960.由a0，解得a＝1713.解析答案返回解后反思例4已知双曲线方程为2x2－y2＝2.(1)过定点P(2,1)作直线l交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.思想方法分类讨论思想的应用当堂检测12345解析答案1.双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为()A.23B.2C.3D.1解析∵双曲线x24－y212＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝3x，∴点F(4,0)到3x－y＝0的距离为432＝23.A解析答案123452.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()A.－14B.－4C.4D.14解析由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m0，则双曲线方程可化为y2－x2－1m＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－1m＝b2＝4，∴m＝－14，故选A.A123453.双曲线x216－y29＝1的渐近线方程为()A.3x±4y＝0B.4x±3y＝0C.9x±16y＝0D.16x±9y＝0解析由x216－y29＝1得a2＝16，b2＝9，∴渐近线方程为y＝±34x，即3x±4y＝0.A解析答案解析答案123454.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1解析双曲线C的渐近线方程为x2a2－y2b2＝0，点P(2,1)在渐近线上，∴4a2－1b2＝0，即a2＝4b2，又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.A解析答案123455.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为____.解析设双曲线的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，∵cb，∴只有∠B1F1B2＝60°，∴tan30°＝bc，∴c＝3b，又a2＝c2－b2＝2b2，∴e＝ca＝3b2b＝62.62课堂小结返回1.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切，把双曲线的标准方程＝1(a0，b0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.x2a2－y2b2