高二人教A版必修5系列教案33二元一次不等式组与简单的线性规划问题1

二元一次不等式组与简单的线性规划问题【知识网络】1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。【典型例题】例1：（1）已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线0823:yxl的异侧，则（）A．02300yxB．0023yx0C．82300yxD．82300yx答案:D。解析：将（1，2）代入l得小于0，则003280xy。（2）满足2yx的整点的点（x，y）的个数是（）A．5B．8C．12D．13答案：D。解析：作出图形找整点即可。（3）不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0表示的平面区域是（）答案：C。解析：原不等式等价于0301203012yxyxyxyx或两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．（4）设实数x,y满足20240230xyxyy，则yx的最大值为．答案:32。解析：过点3(1,)2时，yx有最大值32。（5）已知1224abab，求42tab的取值范围．答案：]10,5[。解析：过点31(,)22时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。例2：试求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积大小．答案:解：原不等式组可化为如下两个不等式组：①210yxyxyx或②210yxyxyx上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．它所围成的面积S＝21×4×2－21×2×1＝3．例3：已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；(Ⅱ)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围。答案:(Ⅰ)设函数yfx的图象上任意一点00,Qxy关于原点的对称点为,Pxy，则00000,,2.0,2xxxxyyyy即∵点00,Qxy在函数yfx的图象上∴22222,2yxxyxxgxxx，即故（Ⅱ）21211hxxx①1411,1hxx当时，在上是增函数，1②11.1x当时，对称轴的方程为ⅰ）111,1.1当时,解得ⅱ）111,10.1当时,解得0.综上，例4：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？答案:：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则00273182152yxyxyxyx且x，y都是整数．求目标函数z＝x＋y取得最小值时的x，y的值．如图，当x＝3，y＝9或x＝4，y＝8时，z取得最小值．∴需截第一种钢板3张，第二种钢板9张或第一种钢板4张，第二种钢板8张时，可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少．【课内练习】1．双曲线224xy的两条渐近线及过（3，0）且平行其渐近线的一条直线与x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A、003003xyxyxyxB、003003xyxyxyxC、003003xyxyxyxD、003003xyxyxyx答案：A。解析：双曲线224xy的两条渐近线方程为yx，过（3，0）且平行于yx的直线是3yx和3yx，∴围成的区域为A。2．给出平面区域如下图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）A．32B．21C．2D．23答案:B。解析：11,22ACka，即12a。3．设集合{(,)|,,1Axyxyxy是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()答案:A。解析：12111,2112xyxyxyxyxyxyxxyy，故选AA(3,1)B(7,9)C4．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费元．答案:500。解析：设需第一种原料x袋，第二种原料y袋，3524106,xyxyN，令140120zxy，∴过（1，3）时min500z元。5．已知2040250xyxyxy，求|24|zxy的最大值为。答案：21。解析：可行域如图，当3,1xy时，min(24)1xy，于是可知可行域内各点均在直线240xy的上方，故240xy，化简得24zxy并平行移动，当过C（7，9）时，max21z。6．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：类型A规格B规格C规格第一种钢板121第二种钢板113每张钢板的面积,第一种为21m,第二种为22m,今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？答案：解：设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,所用钢板面积为2zm,则有0,0,273,152,12yxyxyxyx作出可行域(如图)目标函数为yxz2作出一组平行直线tyx2(t为参数).由12,273yxyx得),215,29(A由于点)215,29(A不是可行域内的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点(6,7)使z最小,且20726824minz.答:应截第一种钢板4张,第二种钢板8张,或第一种钢板6张,第二种钢板7张,得所需三种规格的钢板,且使所用的钢板的面积最小.7．已知3≤x≤6，31x≤y≤2x，求x＋y的最大值和最小值．答案：原不等式组等价于363020xxxyxy作出其围成的区域如图所示，将直线x＋y＝0向右上方平行移动，当其经过点（3，1）时取最小值，当其经过（6，12）时取最大值．∴(x＋y)min＝3＋1＝4，(x＋y)max＝6＋12＝18．即x＋y的最大值和最小值分别是18和4．8．一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加一份苹果汁，乙种饮料的配方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是2000L李子汁和1000L苹果汁，又厂方的利润是生产1L甲种饮料得3元，生产1L乙种饮料得4元．那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少，才能获利最大？答案:（1）列表李子汁苹果汁获得利润分配方案甲3/41/43元x乙1/21/24元y受限条件2000L1000L（2）线性约束条件312000421110004200xyxyxy（3）作出可行域：图略。（4）构建目标函数34zxy，即3144yxz（5）求出满足条件的最大值：2000,1000xy时，z取到最大值100009．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才行？答案:：设桌、椅分别买x，y张，则0,05.120002050yxxyxyyx且x，y∈N*3-1yxO由xyyx20002050解得72007200yx∴点A的坐标为（7200,7200）．由xyyx5.120002050解得27525yx∴点B的坐标为（25，275）．所以，满足约束条件的可行域是图中的阴影部分．由图形直观可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为（25，275），但x，y∈N*，故y取37．∴买桌子25，椅子37是满足题设的最好选择．【作业本】A组1．如图所示的平面区域（阴影部分），用不等式表示为（）A、330xyB、330xyC、330yxD、330yx答案:C。解析：用（0，0）代入验证。2．设点(,)Pxy，其中,xyN，满足3xy的点P的个数为（）A、10个B、9个C、3个D、无数个答案:A。解析：x,y可取0，1，2，3且满足条件即可。3．不等式组31yyxxy，表示的区域为D，点P1（0，-2），P2（0，0），则（）A．DPDP21且B．DPDP21且C．DPDP21且D．DPDP21且答案：C。解析：代入检验。4．设,xy满足5,3212,03,04.xyxyxy则使得目标函数65zxy的值最大的点(,)xy是．答案:(2,3)。解析：作出可行域即可发现。5．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为货物体积（每箱）重量（每箱）利润（每箱）甲5220乙4510托运限制2413答案：4，1。解析：设甲、乙各托运的箱数为x,y，则54242513xyxy，∴2010zxy，Aba10ba220ba当过（4，1）时有最大值。6．试求由不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域的面积大小．答案:原不等式等价于0,0,10,0,10,0,10,0,1yxyxyxyxyxyxyxyx其表示的平面区域如图中阴影部分．∴S＝(2)2＝2．7．已知()(31),[0,1]fxaxbax，若函数()1fx恒成立，求a+b的最大值。答案：已知()1fx恒成立，则10220baba作出可行域令zab，当zab经过A时，z有最大值，由10220baba解得14(,)33A，∴max53z。8．某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？答案：设生产A、B两种产品各为x、y吨，利润为z万元，则0,02005436049300103yxyxyxyxz＝7x＋12y作出可行域，如图阴影所示．当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经过M（20，24）时z取最大值．∴该企业生产A、B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．B组1．若x，y满足约束条件00012xyyx，则x＋2y的最大值为（）A．0B．21C．2D．以上都不对答案：C解析：约束条件所表示的可行域如图所示．当直线x＋2y＝0平行移动到经过点（0，1）时，x＋2y取到最大值0＋2×1＝2．2．已知点(3,1)A与点(4,6)B在直线320xya的两侧，则a的取值范围（）A、(24,7)B、(7,24)C、(,24)(7,)D、(,7)(24,)答案:B。解析：(92)(1212)0,724aaa