高二数学课件选修2数学归纳法高二数学课件

数学归纳法及其应用举例数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论:【归纳奠基】（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确（2）假设n=k(k≥n0,n∈N*)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确（3）由（1）、（2）得出结论【归纳递推】注意：1、一定要用到归纳假设；2、看清从k到k＋1中间的变化。(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.例1:欲用数学归纳法证明2nn2,试问n的第一个取值应是多少?答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5.一、证明中需要注意的问题例2.下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k时命题成立即那么n=k+1时,左边=右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.212111)1(1321211nnnn211111)1(211)2111()3121()211(kkkkk1111223(1)1kkkk(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.1.已知:,则等于()A:B:C:D:131...2111)(nnnnf)1(kf1)1(31)(Kkf231)(Kkf11431331231)(KKKKkf11431)(KKkfC练习：)2)(1(6112)1()2(3)1(21nnnnnnnn)(kf12)1()2(3)1(21kkkkk)1(kf)(kf分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂”。有几项？是什么,它比多出了多少，是首要问题。例3．对于n∈N*用数学归纳法证明：事实上f(k+1)不但比f（k）多一项，而且前k项中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4……kf(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k证明：设f(n)=(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立12)1()2(3)1(21nnnnn(2)设当n＝k,时等式成立，即)2)(1(61)(kkkkf则n=k+1时，f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+……+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k+(k+1))3)(2)(1(61)11)(1(21)2)(1(61kkkkkkkk∴由（1）（2）可知当n∈N*时等式都成立。练习:用数学归纳法证明:(n+1)•(n+2)•…•(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)数学归纳法证明几何问题.例4:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.n图形f(n)1234…kK+1f(1)=0f(2)=1=f(1)+1f(3)=3=f(2)+2f(4)=6=f(3)+3f(k)f(k+1)=f(k)+k……证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立.(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个交点也两两不相同.从而平面内交点的个数是k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2=[(k+1)-1](k+1)/2.这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为:f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成立.说明:用数学归纳法证明几何问题,难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.练习：平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.小结:1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证明,但注意不要滥用.并非任何与正整数有关的命题都可以用它来证明。如果命题没有“递推”关系，数学归纳法将会失去其效力。2.掌握数学归纳法的实质与步骤3.数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起的,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.归纳小结，自我整合,激升思维思考：数列{an}中前n项和Sn与an满足Sn＝1－nan，试求{an}的通项由于数学归纳法是证明与正整数有关的命题，数列是以正整数为定义域的特殊函数，而导数又是研究函数的重要工具，正是这一条知识链注定了数学归纳法必然以数列为背景。深入细致的研究近年来的高考试题，就会印证以上事实。纵观近几年与数学归纳法相关的高考试题，不难得出其命题特点：①很少单独命制大题，往往作为解答题中某一小问的形式出现，重在体现它的工具性作用。且常与数列结合去考查，有时还与函数、导数、不等式等内容相关联，以体现“在知识交汇处设计试题”的命题原则。②试题特别注重加强对不完全归纳法的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式，希望引起大家足够的重视。③高考对数学归纳法主要是‘隐形’考查，也就是说这种方法在题目中往往是“藏而不露”，不明着说要用“数归法”，也就是可用“数归法”，也可用其他方法来解决（当然能找到其他解决方法的话）。