数学物理方法第六章——数学物理方程的定解问题

一、数学物理方程(泛定方程):物理规律的数学表示物理现象物理量u在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。数学语言描述泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别是偏微分方程和积分方程。重点讨论：二阶线性偏微分方程。三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程扩散方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表fuautt2fuDuthu注意一维情况下的表达式1边界问题---边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件2历史问题----初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件二、定解条件三、定解问题在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解条件：它反映了问题的特殊性，即个性。泛定方程：它反映了问题的共性。具体问题求解的一般过程：1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律．2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和初始条件——求解所必须的已知条件．3、求解方法——行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法6.1三类数理方程的导出建模步骤：（1）明确要研究的物理量是什么？从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用。（2）研究物理量遵循哪些物理规律？（3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。(一）均匀弦横振动方程现象描述（如图）：沿x轴绷紧的均匀柔软的细弦，在平衡位置(x轴)附近产生振幅极小的横向振动目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程设定:(1)弦不振动时静止于x轴;(2)用u(x,t)表示t时刻弦上任一点x在垂直于x轴方向上的横向位移（偏离）情况弦的横振动选取不包括端点的一微元[x,x+dx]弧B段作为研究对象.研究对象:(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：假设与近似：(1)弦是柔软的(不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向(2)振幅极小,张力与水平方向的夹角1和2很小，仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略(,)(,)/fxtFxt质量线密度，u(x)u+duu012T2T1xx+dxFBB段弦的原长近似为dx.振动拉伸后：222d(d)(d)d1(d/d)dsxuxuxxu(x)u+duu012T2T1xx+dxBFB段的质量：弦长dx，质量线密度，则B段质量m=dx物理规律：用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：22ddttufmmut牛顿运动定律：①沿x-方向：弦横向振动不出现x方向平移，得力平衡方程2211coscos0TT②沿垂直于x-轴方向：由牛顿运动定律得运动方程2211sinsin(,)d(d)ttTTFxtxxu12120,cos1.，，11sintanxxxuux22dsintanxxxu在微小振动近似下：由（1）式，弦中各点的张力相等u(x)u+duu012T2T1xx+dxBF21TT（1）（2）2211dsinsinxxxxxTTTuud(,)(,)dxxxxxxxttuuTFxtTuFxtux2/aT波动方程：波速a(,)(,)/fxtFxtd(,)d(d)xxxxxttTuuFxtxxu（）受迫振动方程2(,)ttxxuaufxt单位质量弦所受外力，线力密度令………一维波动方程22222uuafgtx………一维波动方程------非齐次方程222220uuatx------齐次方程忽略重力和外力作用：如考虑弦的重量：u(x)u+uu012T2T1xx+xBFdgx沿x方向，不出现平移2211coscosTT沿垂直于x轴方向2211sinsin(,)dd(d)ttTTFxtxgxxu（1）（2）因为：d02211ddsinsindddxxxxxxxuTTTuuTuTx所以有：讨论：dd(,)dd(d)dttuTFxtxgxxux6.2定解条件数学物理方程的定解在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。1数学物理方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。2定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件0(,)|()tuxtxC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件A、波动方程的初始条件00|()()ttuxuxt——描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度（一）初始条件波动方程含有时间的二阶导数，所以需二个初始条件热传导方程含有时间的一阶导数，所以需一个初始条件此类导方程不含时间的导数，所以不需要有初始条件和是空间坐标的函数(,,)xyz(,,)xyz020222[,](,)()[,]thlxxluxthllxxll注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是某一位置处的情况。例１：一根长为l的弦，两端固定于0和l。在中点位置将弦沿着横向拉开距离h，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。lxl/2h解：初始时刻就是放手的那一瞬间，弦的形状如图所示,且弦处于静止状态，即有方程00(,)ttuxt初始位移··初始速度（二）边界条件定义：系统的物理量在边界上具有的情况。A.第一类（狄利克雷）边界条件给出未知函数在边界上的函数值。例2：两端固定的弦振动时的边界条件：00(,)xuxt0(,)xluxt和常见的线性边界条件分为三类：例3：细杆热传导0xlx0(,)xluxtu细杆在x=l端的温度随时间变化,设温度变化规律为f(t),边界的数理方程(,)()xluxtft细杆x=l端的温度处于恒温状态,边界的数理方程第一类边界条件的基本形式：000000,,(,,,)(,,,)xyzuxyztfxyzt边界B.第二类（诺伊曼）边界条件给出未知函数在边界上的法线方向的导数之值。第二类边界条件的基本形式：000000,,(,,,)(,,,)xyzuxyztfxyztn边界C.第三类（混合）边界条件000000,,()(,,,)边界xyzuuHfxyztn第三类边界条件的基本形式：例8长为l的弦在x=0端固定，另一端x=l自由，且在初始时刻t=0时处于水平状态，初始速度为x(l-x)，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.[解]（1）确定泛定方程：x0x取弦的水平位置为轴，为原点，弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程20ttxxuau(2)确定边界条件对于弦的固定端，显然有u(x,t)|x=0=0,ux(x,t)|x=l=0另一端自由，意味着弦的张力为零．则0,xxluxt(3)确定初始条件0t根据题意，当时，弦处于水平状态，即初始位移为零初始速度综上讨论，故定解问题为00,tuxt0,tuxtxxlt200000000000(,),,,(),,,()ttxxxxxltttuauxltuxtuxttuxtuxtxxlxl