2017年考研数学三真题与解析

12017年考研数学三真题一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在0x处连续，则（A）12ab（B）12ab（C）0ab（D）2ab【详解】00011cos12lim()limlim2xxxxxfxaxaxa，0lim()(0)xfxbf，要使函数在0x处连续，必须满足1122baba．所以应该选（A）2．二元函数(3)zxyxy的极值点是（）（A）(0,0)（B）03(,)（C）30(,)（D）11(,)【详解】2(3)32zyxyxyyxyyx，232zxxxyy，2222222,2,32zzzzyxxxyxyyx解方程组22320320zyxyyxzxxxyy，得四个驻点．对每个驻点验证2ACB，发现只有在点11(,)处满足230ACB，且20AC，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D）3．设函数()fx是可导函数，且满足()()0fxfx，则（A）(1)(1)ff（B）11()()ff（C）11()()ff（D）11()()ff【详解】设2()(())gxfx，则()2()()0gxfxfx，也就是2()fx是单调增加函数．也就得到22(1)(1)(1)(1)ffff，所以应该选（C）4．若级数211sinln(1)nknn收敛，则k（）（A）1（B）2（C）1（D）22【详解】ivn时22221111111111sinln(1)(1)22kkkokonnnnnnnnn显然当且仅当(1)0k，也就是1k时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C）．5．设为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（A）TE不可逆（B）TE不可逆（C）2TE不可逆（D）2TE不可逆【详解】矩阵T的特征值为1和1n个0，从而,,2,2TTTTEEEE的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1；3,1,1,,1．显然只有TE存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）．6．已知矩阵200021001A，210020001B，100020002C，则（A）,AC相似，,BC相似（B）,AC相似，,BC不相似（C）,AC不相似，,BC相似（D）,AC不相似，,BC不相似【详解】矩阵,AB的特征值都是1232,1．是否可对解化，只需要关心2的情况．对于矩阵A，0002001001EA，秩等于1，也就是矩阵A属于特征值2存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~AC．对于矩阵B，0102000001EB，秩等于2，也就是矩阵A属于特征值2只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,BC不相似故选择（B）．7．设,AB，C是三个随机事件，且,AC相互独立，,BC相互独立，则AB与C相互独立的充分必要条件是（）（A）,AB相互独立（B）,AB互不相容（C）,ABC相互独立（D）,ABC互不相容【详解】3(())()()()()()()()()()PABCPACABPACPBCPABCPAPCPBPCPABC()()(()()())()()()()()()()PABPCPAPBPABPCPAPCPBPCPABPC显然，AB与C相互独立的充分必要条件是()()()PABCPABPC，所以选择（C）．8．设12,,,(2)nXXXn为来自正态总体(,1)N的简单随机样本，若11niiXXn，则下列结论中不正确的是（）（A）21()niiX服从2分布（B）212nXX服从2分布（C）21()niiXX服从2分布（D）2()nX服从2分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,iiXNXin且相互独立，所以21()niiX服从2()n分布，也就是（A）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)niinSXXnSn，所以（C）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)XNnXNnXn，所以（D）结论也是正确的；（4）对于选项（B）：221111()~(0,2)~(0,1)()~(1)22nnnXXXXNNXX，所以（B）结论是错误的，应该选择（B）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．322(sin)xxdx．解：由对称性知3322220(sin)22xxdxxdx．10．差分方程122tttyy的通解为．【详解】齐次差分方程120ttyy的通解为2xyC；设122tttyy的特解为2ttyat，代入方程，得12a；所以差分方程122tttyy的通解为122.2ttyCt11．设生产某产品的平均成本()1QCQe，其中产量为Q，则边际成本为.4【详解】答案为1(1)QQe．平均成本()1QCQe，则总成本为()()QCQQCQQQe，从而边际成本为()1(1).QCQQe12．设函数(,)fxy具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)yydfxyyedxxyedy，(0,0)0f，则(,)fxy【详解】(,)(1)()yyydfxyyedxxyedydxye，所以(,)yfxyxyeC，由(0,0)0f，得0C，所以(,)yfxyxye．13．设矩阵101112011A，123,,为线性无关的三维列向量，则向量组123,,AAA的秩为．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A，知矩阵A的秩为2，由于123,,为线性无关，所以向量组123,,AAA的秩为2．14．设随机变量X的概率分布为122PX，1PXa，3PXb，若0EX，则DX．【详解】显然由概率分布的性质，知112ab12133102EXabab，解得11,44ab29292EXab，229()2DXEXEX．三、解答题15．（本题满分10分）求极限030limxtxxtedtx【详解】令xtu，则,txudtdu，00xxtxuxtedtuedu00033300002limlimlimlim332xxxtxuuxxxxxxtedteueduueduxexxxx516．（本题满分10分）计算积分3242(1)Dydxdyxy，其中D是第一象限中以曲线yx与x轴为边界的无界区域．【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)11121411282xDxyydxdydxdyxyxydxydxxydxxx17．（本题满分10分）求21limln1nnkkknn【详解】由定积分的定义120111201limln1limln1ln(1)11ln(1)24nnnnkkkkkkxxdxnnnnnxdx18．（本题满分10分）已知方程11ln(1)kxx在区间(0,1)内有实根，确定常数k的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)fxxxx，则22222211(1)ln(1)()(1)ln(1)(1)ln(1)xxxfxxxxxxx令22()(1)ln(1)gxxxx，则2(0)0,(1)2ln21gg2()ln(1)2ln(1)2,(0)0gxxxxg2(ln(1))()0,(0,1)1xxgxxx，所以()gx在(0,1)上单调减少，由于(0)0g，所以当(0,1)x时，()0)0gxg，也就是()gx()gx在(0,1)上单调减少，当(0,1)x时，()(0)0gxg，进一步得到当(0,1)x时，()0fx，也就是()fx在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim()limlimln(1)ln(1)2xxxxxfxxxxx，1(1)1ln2f，也就是得到111ln22k．619．（本题满分10分）设011111,0,()(1,2,3),1nnnaaanaann，()Sx为幂级数0nnnax的和函数（1）证明0nnnax的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))xSxxSxx，并求出和函数的表达式．【详解】（1）由条件11111()(1)1nnnnnnanaananaan也就得到11(1)()()nnnnnaaaa，也就得到111,1,2,1nnnnaanaan1112110112101(1)(1)!nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaan也就得到111(1),1,2,(1)!nnnaann111121121()()()(1)!nknnnnnkaaaaaaaak111limlimlim12!3!!nnnnnnnaen，所以收敛半径1R（2）所以对于幂级数0nnnax，由和函数的性质，可得11()nnnSxnax，所以1111110111111100(1)()(1)(1)((1))()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxSxxnaxnaxnaxnaxnaxananaxaxaxxaxxSx也就是有(1)()()0((1,1))xSxxSxx．解微分方程(1)()()0xSxxSx，得()1xCeSxx，由于0(0)1Sa，得1C所以()1xeSxx．720．（本题满分11分）设三阶矩阵123,,A有三个不同的特征值，且3122.（1）证明：()2rA；（2）若123,，求方程组Ax的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是()1rA．假若()1rA时，则0r是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2rA，又因为31220，也就是123,,线性相关，()3rA，也就只有()2rA．（2）因为()2rA，所以0Ax的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220，所以基础解系为121x；又由123,，得非齐次方程组Ax的特解可取为111；方程组Ax的通解为112111xk