(华师版初中数学教案全)第二十五章 解直角三角形

尤新教育辅导学校1第二十五章解直角三角形即锐角三角函数【重点难点提示】重点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，三角函数间的同角关系与互余关系．难点：锐角三角函数在0°～90°之间的变化规律的应用．考点：锐角三角函数的有关知识在初中数学中占有比较重要的地位；近年各地中考试题中，大多以填空或选择题的形式出现，约占考量的2.5％．【经典范例引路】例1（1）计算：0cos75sin15sin22+cot30°-tan45°-cos30°;（2）Rt△ABC中，∠C=90°,a=25,b=2，求cosA.解：（1）原式=0cos)1590(sin15sin22+cot30°-tan45°-cos30°;=0cos15cos15sin22+3-1-23=1+3-1-23=23（2）在Rt△ABC中，∴∠C＝90°，a＝25，b＝2，∴c＝222)5(2=26∴cosA=cb=622=66【解题技巧点拨】（1）主要注意隐含关系式sin2α＋cos2α＝1的运用，来求得sin215°＋sin275°＝sin215°＋cos215°＝1的技巧．例2已知cosα＝0.6975，sinβ＝0.7328（α、β均为锐角），求证：α＋β＞90°证明：∵α、β为锐角∴90°-β也为锐角，且cosα＝0.6975，cos（90°-β）＝sinβ=0.7328，根据余弦函数在0°～90°之间的变化规律有：α＞90°-β即α+β＞90°【解题技巧点拨】本题必须灵活运用余弦函数在0°～90°之间的变化规律及三角函数间的互余关系解题．尤新教育辅导学校2【综合能力训练】一、填空题1.计算：sin60°·cot30°+sin245°＝．（2001江西中考题）2．求值：21sin60°·22cos45°＝.（2001广州市中考题）3．在△ABC中，如果∠C=90°，∠A＝45°那么tanA＋sinB=；△ABC为对称图形（填“轴”或“中心”）（2001北京中考题）4.α为锐角时，2)1(cos＝．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，2)1(sinA＋|cosB+1|＝．6.已知：cot(90°-x)=2，则xxxxcossincossin=。7．若tanα·tan46°＝1（α为锐角），则α＝。8.Rt△ABC中，∠C＝90°，且18ca＝7ab,acbc＝81．则sinA＝.二、选择题：9.（2001，甘肃中考题）若α是锐角，sinα=cos50°，则α等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°10.sin64°与cos26°之间的关系是（）A．sin64°＜cos26°B．sin64°＝cos26°C．sin64°＞cos26°D．sin64°＝-cos26°11.△ABC中，∠C＝90°，则cosA·cotB的值是（）A.caB.acC.bD.b12.当∠A为锐角，且cotA的值小于3时，∠A应（）尤新教育辅导学校3A．小于30°B．大于3O°C．小于60°D．大于60°13.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（）A．都扩大两倍B.都缩小两倍C．不变D．都扩大四倍14.在△ABC的三内角中，A∶B∶C＝3∶2∶7，则sinA∶sinB＝（）A．1∶3B.1∶2C.2D.2∶315．已知0°＜α＜45°，则使212sin1无意义的α的值是（）A．3O°B．15°C．不存在D．非以上答案16．已知45°＜θ＜90°，且2sinθ-x+3＝0则x的取值范围是（）A.22＜x＜1B．3-2＜x＜1C．3+2＜x＜5D．1＜x＜3＋2三、解答题：17.设x=(21)-1+(sin73°)0+tan21°·tan69°，求（4823xx-44823xxx）÷696223xxxxx的值．18.已知方程4x2＋kx＋2＝0的两根是sinθ，cosθ（θ为锐角），求k和θ．尤新教育辅导学校419.计算：2)160(sin+|1-tan60°|20.计算：（21）-2+232（sin21°13′-tan21°）0-60cos30cos230sin21.已知sinα+cosα＝m,sinα·cosα＝n，试确定m与n的关系．【创新思维训练】22．计算：tan1°·tan2°·tan3°·tan4°……tan88°·tan89°的值．23．cosx＝α+1（α＞0）成立吗？若成立，求出α的值．若不成立，请说明理由．尤新教育辅导学校5参考答案【综合能力训练】一、1.22.833.1+22,轴4.1-cosα5.26.3+227.44°8.135二、9.C10.B11.A12.B13.C14.C15.B16.C三、17.原式=34x=4(2+1)18.24k,θ=45°19.2320.-121.m2=2n+122.123.不成立(a+a11而0cosx1)锐角三角函数（1）【教学目标】1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。2.掌握三角函数定义式：sinA=斜边的对边A，cosA=斜边的邻边A，【重点难点】重点：三角函数定义的理解。难点：直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值。【教学过程】一、情境导入如图是两个自动扶梯，甲、乙两人分别从1、2号自动扶梯上楼，谁先到达楼顶?如果AB和A′B′相等，∠α和∠β大小不同，那么它们的高度AC和A′C′相等吗？AB、AC、BC与∠α，A′B′、A′C′、B′C′与∠β之间有什么关系呢？------导出新课二、新课教学1、合作探究(1)Rt△AB1C1和Rt△ABC有什么关系?(2)和B1C1AB1，ACAB和AC1AB1,BCAC和B1C1AC1有什么关系?C′B′A′CBA213米3米2米4米βaBCABaBB1C1CAtanA=A的对边A的邻边尤新教育辅导学校6(3)如果改变B在AB1上的位置呢?2、三角函数的定义在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA＝斜边的对边A∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即cosA=斜边的邻边A∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即锐角A的正弦、余弦和正切统称∠A的三角函数.注意：sinA，cosA，tanA都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义，其中A前面的“∠”一般省略不写。师：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？师：（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边．生：独立思考，尝试回答，交流结果．明确：0＜sina＜1，0＜cosa＜1.巩固练习：课本第6页课内练习T1、作业题T1、23、例题教学：课本第5页中例1.例1如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=5,BC=3,求∠A,∠B的正弦,余弦和正切.分析：由勾股定理求出AC的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系求出各函数值。师：观察以上计算结果,你发现了什么?生：独立思考，交流结果，举手板演．明确：sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=14、课堂练习：课本第6页课内练习T2、3，作业题T3、4、5三、课堂小结：谈谈今天的收获1、内容总结（1）在RtΔABC中,设∠C=900，∠α为RtΔABC的一个锐角，则∠α的正弦斜边的对边sin，∠α的余弦斜边的邻边cos，∠α的正切的邻边的对边tan（2）一般地，在Rt△ABC中,当∠C=90°时，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=12、方法归纳在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解四、布置作业：见作业本【板书设计】CBAtanA=A的对边A的邻边尤新教育辅导学校7锐角三角函数（1）sinA=斜边的对边A叫∠A的正弦例1cosA=斜边的邻边A叫∠A的余弦叫∠A的正切在Rt△ABC中,当∠C=90°时，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1锐角三角函数（1）教学目标：1、理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表示法；2、能根据锐角三角函数的定义计算一个锐角的各个三角函数的值；3、掌握Rt△中的锐角三角函数的表示：sinA=斜边的对边A，cosA=斜边的邻边A，tanA=的邻边的对边AA4、掌握锐角三角函数的取值范围；5、通过经历三角函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法。教学重点：锐角三角函数相关定义的理解及根据定义计算锐角三角函数的值。教学难点：锐角三角函数概念的形成。教学过程：一、创设情境：鞋跟多高合适？美国人体工程学研究人员卡特·克雷加文调查发现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7厘米左右的高跟鞋。但专家认为穿6厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等处的肌肉非常容易疲劳。据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11度左右时，人脚的感觉最舒适。假设某成年人脚前掌到脚后跟长为15厘米，不难算出鞋跟在3厘米左右高度为最佳。问：你知道专家是怎样计算的吗？显然，高跟鞋的鞋底、鞋跟与地面围城了一个直角三角形，回顾直角三角形的已学知识，引出课题。二、探索新知：1、下面我们一起来探索一下。实践一：作一个30°的∠A，在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C。⑴计算ABBC，ABAC，ACBC的值，并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。tanA=A的对边A的邻边ACB尤新教育辅导学校8∠A=30°时ABBCABACACBC学生1结果学生2结果学生3结果学生4结果⑵将你所取的AB的值和你的同伴比较。实践二：作一个50°的∠A，在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C。（1）量出AB，AC，BC的长度（精确到1mm）。（2）计算ABBC，ABAC，ACBC的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。∠A=50°时ABACBCABBCABACACBC学生1结果学生2结果学生3结果学生4结果（3）将你所取的AB的值和你的同伴比较。2、经过实践一和二进行猜测猜测一：当∠A不变时，三个比值与B在AM边上的位置有无关系？猜测二：当∠A的大小改变时，相应的三个比值会改变吗？3、理论推理如图，B、B1是一边上任意两点，作BC⊥AC于点C，B1C1⊥AC1于点C1，判断比值222BCAB与111ABCB，ABAC与11ABAC，ACBC与111ABCB是否相等，并说明理由。4、归纳总结得到新知：⑴三个比值与B点在的边AM上的位置无关；⑵三个比值随的变化而变化，但（00﹤﹤900）确定时，三个比值随之确定；比值ABBC，ABAC，ACBC都是锐角的函数比值ABBC叫做的正弦(sine)，sin=ABBC比值ABAC叫做的余弦(cosine)，cos=ABAC比值ACBC叫做的正切(tangent)，tan=ACBC（3）注意点：sin，cos，tan都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义，其中前面的“∠”一般省略不写。强化读法，写法；分清各三角函数的自变量和应变量。三、深化新知1、三角函数的定义在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.则有尤新教育辅导学校9sinA＝斜边的对边AcosA斜边的邻边AtanAAA的对边的邻边2、提问：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边．生：独立思考，尝试回答，交流结果．明确：锐角的三角函数值的范围：0＜sin＜1，0＜cos＜1.四、巩固新知例1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=5,BC=3,（1）求∠A的正弦、余弦和正切.（2）求∠B的正弦、余弦和正切.分析：由勾股定理求出AC的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间