(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第10课 基本不等式课件 文

考纲要求1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．知识梳理1．基本不等式：2abab①基本不等式成立的条件：．②等号成立的条件：当且仅当时取等号．2．常用的不等式①222abab(,)abR．②*2(,)abababR．③222abab．④2()2abab．⑤222()22abab．⑥2(0)ababba．0,0abab3．最值定理:若,0xy，则由2xyxy可得如下结论：①若积xyP（定值），则和xy有最小值2P．②若和xyS（定值），则积xy有最大值22S（）．1．“ab”是“2()2abab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件基础自测【答案】A【答案】D【解析】∵0x，∴44+24xxxx，当且仅当4=xx，即=2x时，取等号．2．(2012济南模拟)若0x，则4+xx的最小值为（）A．2B．3C．22D．43．（2012苍山质检）若0,0ab，且2ab，则（）A．1abB．1abC．224abD．224ab【答案】A【解析】∵0,0ab，且2ab，∴222()()122abab，当且仅当1ab时，等号成立．4．（2012陕西高考）小王从甲地到乙地的时速分别为a和b（ab），其全程的平均时速为v，则（）A．avabB．vabC．abv2abD．2abv【答案】A【解析】设从甲地到乙地的全程为s，则22sabvssabab，∵0ab，∴2abb，2abab，∴222ababvaabb．∴222ababvababab，故选A．【例1】（1）已知0x，求4xx的最大值；（2）已知1x，求11xx的最小值．典例剖析考点1利用基本不等式求最值【解析】（1）∵0x，∴0x，∴444[()()]2()()4xxxxxx，当且仅当4xx，即2x时，4xx取得最大值4．（2）∵1x，∴10x，∴111111xxxx12(1)()131xx，当且仅当111xx，即2x时，11xx取得最小值3．【变式】（2012北京模拟）已知直线22xy与x轴，y轴分别交于,AB两点，若动点(,)Pab在线段AB上，则ab的最大值为（）A．12B．2C．3D．13【答案】A【解析】∵(,)Pab在线段AB上，∴22ab，其中(0,2),(0,1)ab，∴21121(2)()2222ababab，当且仅当222abab，即112ab时，取等号．【例2】（1）已知0,0xy，且21xy，求11xy的最小值；（2）已知0x，求221xx的最大值．【解析】（1）∵0,0xy，且21xy，∴11112(2)()3yxxyxyxyxy223223yxxy，当且仅当221yxxyxy，即221,12xy时，取等号，∴11xy的最小值为223．（2）∵0x，222211112xxxxxx，当且仅当1xx，即1x时，取等号，∴221xx的最大值为1．【变式】（2012佛山一模）已知向量a(,2)x，b(1,)y，其中0,0xy．若4ab，则12xy的最小值为（）A．32B．2C．94D．22【答案】C【解析】∵4ab，∴24xy，0,0xy，∴12112122(2)()(5)44yxxyxyxyxy1229(52)44yxxy．当且仅当2422xyyxxy即43xy时，等号成立．【例3】围建一个面积为2360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：m)．（1）将y表示为x的函数（y为修建此矩形场地围墙的总费用）；（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．考点2基本不等式的实际应用【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为am，则45180(2)1802yxxa225360360xa(0)x．由已知360xa,得360ax，∴2360225360(0)yxxx．(2)∵0,x∴22360225222536010800xx．∴236022536010440yxx，当且仅当2360225xx，即24x时，等号成立．即当24xm时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．【变式】（2012昌平二模）爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为1v，下山的速度为2v（21vv），乙上下山的速度都是221vv（甲、乙两人中途不停歇），则甲、乙两人上下山所用的时间21,tt的关系为（）A．21ttB．21ttC．21ttD．不能确定【答案】A【解析】设山的长度为(0)ss，则1211212()vvssstvvvv，21212242sstvvvv∵120,0vv，且12vv，∴12122vvvv，∴121211212122()2vvsvvsstvvvvvv，21212124422ssstvvvvvv，∴12tt．1.利用基本不等式求最值一定要验证“一正，二定，三相等”．特别要注意取等号的条件．2.如果利用基本不等式求最值等号取不到，一般转化为利用单调性求最值．归纳反思