(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第26课 导数的综合问题课件 文

考纲要求掌握应用导数来解决不等式、方程等问题的基本方法．【例1】（2012东城一模）已知1x是函数()(2)xfxaxe(aR)的一个极值点．（1）求a的值；（2）当1x，2[0,2]x时，证明：12()()fxfxe．典例剖析考点1利用导数来研究恒成立问题【解析】（1）()(2)xfxaxae，由已知得(1)0f，解得1a．∵当1a，()(1)xfxxe，1x时，()0fx，1x时，()0fx，∴()fx在1x处取得极小值．∴1a．（2）证明：由（1）知，()(2)exfxx，()(1)exfxx．当[0,1]x时，()(1)0xfxxe，)(xf在区间[0,1]单调递减；当(1,2]x时，()(1)0xfxxe，)(xf在区间(1,2]单调递增．∴在区间[0,2]上，()fx的最小值为(1)fe，又(0)2f，(2)0f，∴在区间[0,2]上，()fx的最大值为(2)0f．对于12,[0,2]xx，有12maxmin()()()()fxfxfxfx．∴12()()0()fxfxee．【变式】（2012惠州调研）已知函数()ln()fxaxxaR.(1)求)(xf的单调区间；(2)设2()22gxxx，若对任意1(0,)x，均存在2[0,1]x，使得)()(21xgxf，求a的取值范围.【解析】(1)11()(0)axfxaxxx.①当0a时，()0fx.∴()fx的单调递增区间为(0,).②当0a时，由()0fx，得1xa.1(0,)xa时，()0fx，1(,)xa时，()0fx，∴函数()fx的单调增区间为1(0,)a，单调递减区间为1(,)a.（2）由已知，转化为maxmax()()fxgx.∵2()(1)1gxx，∴max()2gx，由(2)知，当0a时，()fx在(0,)上单调递增，值域为R，故不符合题意.当0a时，()fx在1(0,)a上单调递增，在1(,)a上单调递减，故()fx的极大值即为最大值，∴max11()()1ln()1ln()fxfaaa，∴21ln()a，解得31ae.【例2】设函数2()lnfxxx．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）求证：对于定义域内的任意一个x，都有()3fxx．考点2利用研究不等式问题【解析】（1）∵2()lnfxxx，∴22122()xfxxxx．令()0fx，解得2x；令()0fx，解得02x．∴函数()fx的单调递增区间为(2,)；单调递减区间为(0,2)．（2）设()()(3)gxfxx，即2()ln3gxxxx．2222122(1)(2)()1xxxxgxxxxx．当x变化时，()gx，()gx的变化情况如下表：x(0,1)1(1,)()gx－0＋()gx极小值1x是()gx在(0,)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是()gx的最小值点．可见()(1)0gxg最小值，∴()0gx，即()(3)0fxx，∴对于定义域内的每一个x，都有()3fxx．【变式】（2012丰台二模）已知函数()lnfxx，()bgxaxx，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．（1）求a，b的值；（2）求证：当1x时，()()fxgx成立；（3）证明：1111ln(1)23nn（*nN）．【解析】（1）∵()fx与()gx的图象在x轴上有公共点(1,0)，∴(1)0g，即0ab．又∵1()fxx，2()bgxax，由题意(1)(1)1fg，即1ab，∴12a，12b．（2）设11()()()ln()22Fxfxgxxxx，则2211111()(1)0222Fxxxx．∴()Fx在1x时单调递减．∵(1)0F，∴当1x时，()0Fx，∴当1x时，()()fxgx．（3）由（2）得，11()ln2xxx(1)x．令1kxk，则111ln()21kkkkkk111111(1)(1)()2121kkkk，∴111ln(1)ln()21kkkk，1,2,3,,kn．∴11111ln(1)()2232(1)nnn，∴1111...ln(1)ln(1)232(1)nnnnn．1．要注意问题的等价转化．2．构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法．归纳反思