2011年高考数学一轮精品复习课件：第2章《函数与导数》――对数函数

学案7对数函数返回目录1.对数的概念(1)对数的定义一般地,如果ax=N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.(2)几种常见对数x=logaNaN返回目录对数形式特点记法一般对数底数为a(a0,且a≠1)常用对数底数为自然对数底数为logaN10lgNelgN2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①=;②=(a0,且a≠1).NlogaaNaalogNN返回目录(2)对数的重要公式①换底公式:(a,b均大于零且不等于1);②logab=,推广logab·logbc·logcd=.(2)对数的运算法则如果a0,且a≠1,M0,N0,那么:①loga(M·N)=;②=;③=(n∈R);④.nlogaMalogb1NMloganaMlogMlogmnMloganamblogNlogNlogaabdlogaNlogMlogaaNlogMlogaa3.对数函数的图象与性质a10a1图象性质(1)定义域:(2)值域:(3)过点,即x=时,y=(4)当x1时,当0x1时(4)当x1时,当0x1时,(5)在(0,+∞)上是(5)在(0,+∞)上是(0,+∞)R(1,0)10y0y0y0y0增函数减函数返回目录4.反函数指数函数y=ax与对数函数互为反函数,它们的图象关于直线对称.返回目录y=xy=logax返回目录考点一对数式的运算计算:【分析】①利用对数定义求值;②利用对数的运算性质.【解析】(1)解法一:利用对数定义求值.设=x,则.245lg8lg34-4932lg21(2));3-(2log(1)23)3-(2log23-1.x323213-2)3(2x1)(返回目录解法二:利用对数的运算性质求解.(2)原式=1333-1222)3(2log321log)3-(2log.lg105)lg(2lg5lg2lg5lg72lg2-lg7-lg2lg5)(2lg7lg22334-2lg7)-(5lg2lg245lg834-lg49)-(lg32212121212121212125212121【评析】(1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底和指数与对数互化.(2)熟练地运用对数的三个运算性质,并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.返回目录＊对应演练＊计算下列各式的值:返回目录lg40+lg50lg8+lg5+lg2)1(]7)33(4[log•327log)2(272log3210log215431+2lg)2(lg+5lg•2lg+)2(lg2)3(22(2)原式=返回目录1.45lg45lg4050lg852lg(1)原式=.41-5·log2)-3-(103)·loglog-3log7-)(3-2·log533log55332log322310log43372)143(43((3)原式1.=2lg-1+5)×·lg(22lg=|1-2lg|+lg5)+(lg22lg=1+22lg-)2(lg+lg5)+2(2lg2lg=2返回目录返回目录考点二对数函数的图象当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2logax恒成立,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(1,2)C.(1,2］D.(0,)【分析】此不等式不是一般的不等式,无法直接求解,但可利用数形结合画出函数的图象,使y=logax的图象在x∈(1,2)上位于y=(x-1)2的图象上方.21返回目录【解析】设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax.要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2logax恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图象在f2(x)=logax的下方即可.当0a1时,显然不成立.当a1时,如图,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的图象在f2(x)=logax的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2.∴loga2≥1,∴1a≤2.故应选C.【评析】对于较复杂的不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体做法是:对不等式变形,不等号两边对应两函数.在同一坐标系中作出两函数图象,比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数,来确定参数的取值或解的情况.返回目录返回目录＊对应演练＊已知不等式logaxlogbx0logcx,则（）A.0c1baB.0ba1cC.0c1ab或0ab1cD.0c1ab或0ba1cD(设三个函数y=logax,y=logbx，y=logcx,由已知条件，若x1时，三个函数的图象关系如图（1）所示，此时有0c1ab.返回目录若0x1时，则三个函数的图象关系如图（2）所示，此时有0ba1c.故应选D.)返回目录返回目录考点三对数函数的性质已知函数f(x)=logax(a0,a≠1),如果对于任意x∈［3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围.【分析】当x∈［3,+∞)时,必有|f(x)|≥1成立,可以理解为函数|f(x)|在区间［3,+∞)上的最小值不小于1.【解析】当a1时,对于任意x∈［3,+∞),都有f(x)0.∴|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3,+∞)上为增函数,∴对于任意x∈［3,+∞),有f(x)≥loga3.因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3,+∞)都成立.只要loga3≥1=logaa即可,∴1a≤3.当0a1时,对于x∈［3,+∞),有f(x)0,∴|f(x)|=-f(x).∵f(x)=logax在［3,+∞)上为减函数,∴-f(x)在［3,+∞)上为增函数.∴对于任意x∈［3,+∞)都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.返回目录【评析】本题属于函数恒成立问题,即为x∈［3,+∞)时,函数f(x)的绝对值恒大于等于1.恒成立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最值问题;二是利用单调性转化为最值问题.这里函数的底数为字母a,因此需对参数a分类讨论.因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3,+∞)都成立,只要-loga3≥1成立即可,∴loga3≤-1=loga,即≤3,∴≤a1.综上,使|f(x)|≥1对任意x∈［3,+∞)都成立的a的取值范围是(1,3］∪.返回目录a1a1311,31返回目录＊对应演练＊已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.3令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=(x-)2-a-,由以上知g(x)的图象关于直线x=对称且此抛物线开口向上.∵函数f(x)=log2g(x)的底数21,在区间(-∞,1-］上是减函数,∴g(x)=x2-ax-a在区间(-∞,1-］上也是单调减函数,且g(x)0.1-≤a≥2-2g(1-)0,(1-)2-a(1-)-a0,解得2-2≤a2.故a的取值范围是{a|2-2≤a2}.返回目录2a4a22a3332a3333∴即33返回目录考点四对数函数的综合应用已知函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).(1)求f(x)的定义域;(2)求f(x)的值域.【分析】求函数定义域应是使原式有意义的x的取值范围.1-x1x0①x-10②p-x0③由①②得a1,由③得xp,因为函数的定义域为非空数集,故p1,f(x)的定义域是(1,p).返回目录【解析】(1)f(x)有意义时,有1-x1x(2)f(x)=log2［(x+1)(p-x)］p),x(141)(p)21-p-(x-log222返回目录①当,即p3时,0≤,∴≤2log2(p+1)-2②当≤1，即1p≤3时，∵0∴1+log2(p-1)p21-p14)1()22p21-p(-4)1(2p41)(p)21-p-(x-log22221-p41)(p)21-p-(x-2241)(p)21-p-(x-log222综合①②可知：当p3时，f(x)的值域是(-∞,2log2(p+1)-2］;当1p≤3时，f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).【评析】本题关键是对p的分类讨论.返回目录＊对应演练＊函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意实数x,都有f(x+1)=f(x-1)成立.已知当x∈［1,2］时,f(x)=logax.(1)求x∈［-1,1］时,函数f(x)的表达式;(2)求x∈［2k-1,2k+1］(k∈Z)时,函数f(x)的解析式;(3)若函数f(x)的最大值为,在区间［-1,3］上,解关于x的不等式f(x).（1）∵f(x+1)=f(x-1),且f(x)是R上的偶函数，loga(2+x),x∈［-1,0］loga(2-x),x∈［0,1］.41∴f(x+2)=f(x)=返回目录21返回目录(2)∵当x∈［2k-1,2k］时，f(x)=f(x-2k)=loga(2+x-2k),同理，当x∈［2k,2k+1］时，f(x)=loga(2-x+2k).loga(2+x-2k),x∈［2k-1,2k］loga(2-x+2k),x∈［2k,2k+1］(k∈Z).(3)由于函数以2为周期,故考查区间［-1,1］.若a1,loga2=,即a=4.若0a1,则loga(2-1)=，矛盾，舍去,∴a=4.由(2)知所求不等式的解集为(-2+,2-)∪(,4-).∴f(x)=21212222返回目录1.指数函数y=ax与对数函数y=logax(a0,且a≠1)互为反函数,要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.2.在解决问题的思路和方法上,要注意与指数进行比较.3.比较两个幂值的大小是一种常见的题型,也是一类容易做错的题目.解决这类问题时,首先要分清是底数相同还是指数相同.如果底数相同,可利用指数函数的单调性;如果指数相同,可利用图象(如下表).返回目录同一坐标系下的图象关系底的关系ab1图象底的关系1ab0图象y=ax与y=bxy=logax与y=logbxy=ax与y=bxy=logax与y=logbx当底大于1时,底越大,图象越靠近坐标轴;当底小于1大于0时,底越小,图象越靠近坐标轴,如果底数、指数都不同，则要利用中间变量.返回目录