2011年高考数学复习：选修2-3 排列组合 二项式定理

第一章排列组合二项式定理高二数学选修2-3选修2-3排列组合二项式定理知识结构网络图：排列与组合二项式定理基本原理排列组合排列数公式组合数公式组合数的两个性质二项式定理二项式系数的性质基础练习知识结构网络名称内容加法原理乘法原理定义相同点不同点两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法…，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…mn种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤，做第一步中有m1种不同的方法，做第二步中有m2种不同的方法……，做第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·m3·…·mn种不同的方法.两个原理的区别与联系：排列和组合的区别和联系：名称排列组合一个~~~数符号种数公式关系性质，mnAmnC(1)(1)mnAnnnm!()!mnnAnm!0!1nnAn!)1()1(mmnnnCmn)!(!!mnmnCmn10nCmmmnnmACAmnnmnCC11mnmnmnCCC从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所有全排列的个数，即：(1)(2)21nnAnnn排列和组合的区别和联系：二项展开式定理:一般地，对于nN*，有：011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的，其中（r=0,1,2,……,n）叫做，叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，该项是指展开式的第项，展开式共有_____个项.rnC展开式二项式系数rrnrnbaCr+1n+11(0,1,2,)rnrrrnTCnabr二项展开式定理:2.二项式系数规律：nnnnnCCCC、、、、2103.指数规律：（1）各项的次数均为n；（2）a的次数由n逐次降到0，b的次数由0逐次升到n.1.项数规律：展开式共有n+1个项)(Nn011()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb二项展开式定理:二项展开式定理:性质3：性质复习性质3：性质1：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.性质2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数最大；nnnknnnnCCCCC2210性质3：性质4：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.二项展开式定理性质:二项展开式定理性质:例１：锐角A的一边上有4个点，另一边上有5个点，连同角的顶点共有10个点，以这10个点为顶点可作三角形的个数为多少个？析：若三个点构成三角形，则三点不共线．解：若包含顶点Ａ，则有种取法若不包含顶点Ａ，则有种取法114520CC1221454570CCCC所以可作三角形个数为２０＋７０＝９０个例２：有红、黄、蓝三种颜色旗子各三面，任取其中三面，升上旗杆组成纵列信号，(1)可以有多少种不同的信号？(2)若所升旗子中不允许有三面相同颜色的旗子，可以有多少种不同的信号？(3)若所升旗子颜色各不相同，有多少种不同的信号？1:(1)33327N解种2(2)27324N种3(3)3216N种例2例３：某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．析：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：解：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．例3解答例４：平面上有11个相异的点，过其中任意两点相异的直线有48条.（1）这11个点中，含3个或3个以上的点的直线有几条？（2）这11个点构成几个三角形？例4题目分析：若平面上11点中任意两点有一条不同直线，则共有.故直线总条数减少了55－48=7条.而每增加一组3点共线直线总条数减少条，每增加一组4点共线，直线总条数减少条…，故此题第（1）问是考虑7被2与5分解的不同方式.第（2）问则可以采用分类的思想求解.21155C2312C2415C例4分析解：（1）若任三点不共线，则所有直线的总条数为条；每增加一组三点共线，连成直线就将减少条；每增加一组四点共线，连成直线就将减少条；每增加一组五点共线，连成直线就将减少条.∴55－48=7=2+5故含有3个点、4个点的直线各1条.21155C2312C2415C2519C例4解答(1)（2）若任意三点不共线，则11个点可构成三角形个数为（个）每增加一组三点共线三角形个数减少1个，每增加一组四点共线三角形个数减少个，故所求不同三角形个数为:=160个311165C344C331141CC例4解答(2)1512)5x：求（展例开式中前四项注：1）注意对二项式定理的灵活应用2）注意区别二项式系数与项的系数的概念二项式系数为；项的系数为：二项式系数与数字系数的积rnC解:15122151512)1(2)(2)xCxCx（3315151515(2)(2)CxCx231,30,420,3640xxx则前四项分别为例5题目及解答例６：求的展开式的中间项121()3xx解:展开式共有13项,中间项是第7项61266761121308()()3243xTTCx112265176115415424381TTxTTx变式：求的展开式的中间项111()3xx展开式共有12项,中间项是第6项和第7项解:例6题目,变式及解答例７：在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求：（1）展开式中含x的一次项（2）展开式中有理项nxx421解:(1)前三项系数分别为201211,,22nnnCCC由已知，212011222nnnCCC整理得：2980nn解得：n=8或n=1(舍）所以n=8例7题目及解答(1)解:(2)的展开式的通项公式为：8412xx1638418841122rrrrrrrTCxCxx16334,0,1,2844rrZr且45920,4,8351,,8256rxTxTx1即有理项为T例7解答(2)•说明:考查二项式通项,注意理解有理项的概念.•方法:本题属于求二项式的指定项一类重要问题,它的解法主要是:设第r+1项为所求指定项,利用通项公式列出方程,解方程,利用方程的思想解题.767016712713570246(3x1)aaxaxax(2)(3)aaaaaaaaaaa:若求(1)例8770170167x1(31)aaa2128x=0,a1aaa128(1)129:（1）令令解例8题目及解答(1)7701777017771357770246x1(31)aaa2(1)x1(-31)aaa-4(2)(1)(2)242:22(1)(2)243:22aaaaaaaa令令（）得（）得•说明：求系数的问题一般对x进行赋值，使二项式中只出现系数的关系。例8解答(2)(3)１．排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．小结由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列．２．二项式定理是初中多项式乘法的延伸，又是后继学习概率的基础，要理解和掌握好展开式的规律，利用它对二项式展开，进行相应的计算与证明；要注意“系数”、“二项式系数”等概念的区别与联系，对二项式展开式的特征要分析清楚，灵活正用、逆用展开式.小结小结再见