2011年高考数学总复习《教考名师伴你行》课件第十章学案3二项式定理

进入学案3二项式定理名师伴你行考点一考点二考点三名师伴你行考点三1.二项式定理的内容(a+b)n=.右边的多项式叫做(a+b)n的，其中的系数(r=0,1,…,n)叫做，式中的第r+1项叫做二项展开式的，记作Tr+1=.rnCrr-nrnbaCN*)(nbCbaCbaCaCnnnrr-nrn1nn0n11-n二项展开式二项式系数通项rr-nrnbaC名师伴你行返回目录2.二项展开式的性质（1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.即.（2）如果n是偶数，则中间的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间的二项式系数相等并且最大.（3）所有二项式系数和等于2n.即.（4）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即.k-nnkn-1nn1nnn0nCCCCCC,,一项12n项）（第两项第项与第项21n121n-1n3n1n2n0n2CCCCnnn2n0n2CCC名师伴你行返回目录考点一求指定项的系数【分析】由通项公式列方程可得.【例1】（1）的展开式中x5的系数为.（2）若在(1+ax)5的展开式中x3的系数为-80,则a=.8x1-x)(名师伴你行返回目录【解析】（1）二项展开式的通项为令8-=5,则r=2,∴T3=(-1)2··x5=28x5,∴x5的系数为28.（2）在二项展开式中通项Tr+1=,令r=3,得x3的系数:=-80,∴a3=-8,∴a=-2..·x·C(-1))·(-xxCT23r-8r8rr21-r-8r81r23r28Crrr5rr5x(a)C(ax)C335·aC名师伴你行返回目录【评析】（1）二项展开式的通项公式反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项的系数或指数.（2）求指定项的系数主要通过二项式定理的通项公式列方程求得，考查计算能力.名师伴你行返回目录＊对应演练＊已知.（1）若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.n2x)21(名师伴你行返回目录（1）由已知得，即n2-21n+98=0,解得n=7或n=14.当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项.第四项的系数等于，第五项的系数等于.当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项，它的系数为3432.6n4n5nCC2C235·2)21(C343707·2)21(C434777714·2)21(C名师伴你行返回目录（2）由=79,得n2+n-156=0,解得n=-13（舍去）或n=12,设Tr+1项的系数最大，∵,∴r=10,∴展开式中系数最大的项是T11=.2n1n0nCCC1212124x)·(1)212x)21((4C4C4C4C1r11r12rr12-1r-1r12rr12∴10.4r9.410101010121216896xx4·C)21(名师伴你行返回目录考点二求常数项【例2】（1）的展开式中常数项是（）A.14B.-14C.42D.-42（2）若的展开式中存在常数项，则ｎ的值可以是（）A.８B.９C.１０D.１２【分析】常数项是指x的指数为0的项，通过通项公式Tr+1去讨论指定项对r的限制，从而找出r与n的关系.72x12xn3x2x名师伴你行返回目录【解析】（1）Tr+1==令=0得r=6,∴T7=14.故应选A.（2）Tｒ＋１＝∵存在常数项，∴令＝０.∴３ｎ＝５ｒ.∴ｎ的值必被５整除.故应选C.rr-73r7)x1·(-)(2xC,7.0,1,r,x·(2)(-1)Cr2721r-7rr7r27213r2rnrrnr3r-nrnx2C)x2·(-)x(C3r2rn名师伴你行返回目录【评析】（1）指定项问题一般由通项公式入手分析r应满足的条件从而求出r.(2)注意常数项、有理项、系数最大项等概念的区别.名师伴你行返回目录＊对应演练＊若（x+-2）n的展开式中常数项为-20，求n.当x0时，（x+-2）n=,∴Tr+1的通项为,令n-r=0,即r=n时，为常数项.依题意得,把n=1,2,3,…代入得n=3.x1x12nx1xrrnr2nrr2nr2n1)(xCx1)x(Crrnr2n1)(xC201)(Cnn2n名师伴你行返回目录当x0时，,通项Tr+1,令n-r=0，常数项为,∴n=3.综上所述，n=3.2nnnnnx1x1)(2x1x12x1xrnr2nnrr-2nr2nnx)(C1)(x1xC1)(-20C1)(n2nn名师伴你行返回目录考点三二项式中的最值问题【例2】求的展开式中系数最大的项10)x2(【解析】设第项的系数最大,则有，r9r10r11r10r91r10r10r10r11r10r10r102)!r9()!1r(！102)!r10(!r！102)!r11()!1r(！102)!r10(!r！102C2C2C2C即返回目录【分析】结合二项式系数的单调性,只比较相邻三项的系数即可.【评析】（1）求系数最大的项应注意与不等式相联系,同时还应重视整数解的寻找,解题时要审清题意,搞清所求最大项是指数值最大项,还是系数最大项,还是二项工系数最大的..x2C，T3r38r311r1r1r102r112r1373104为所求的系数最大的项时即返回目录＊对应演练＊求的展开式中数值最大的项.50)21(.)2(CT29r88.29r88.28251101r251102r121rr5012r1r501)2(C)2(C,1)2(C)2(C,1TT,1TT，1r29295030rr501r1r501r1r50rr501r2rr1r展开式中数值最大项是解之得即则有的项项是展开式中数值最大设第返回目录考点四展开式的系数的性质【例3】设（2-x）100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，求下列各式的值：（1）a0;（2）a1+a2+…+a100;（3）a1+a3+a5+…+a99;（4）（a0+a2+…+a100）2-(a1+a3+…+a99)2.【分析】利用二项式系数的性质.3名师伴你行返回目录【解析】（1）由(2-x)100展开式中的常数项为·2100，即a0=2100,或令x=0，则展开式可化为a0=2100.（2）令x=1，可得a0+a1+a2+…+a100=(2-)100①∴a1+a2+…+a100=(2-)100-2100.（3）令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100②与x=1所得到的①联立相减可得a1+a3+…+a99=.30100C3332)3(2)3(2100100名师伴你行返回目录【评析】求关于展开式中系数和的问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如1,-1,0,….（4）原式=［(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)［(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)］=(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=(2-)100(2+)100=1.33名师伴你行返回目录＊对应演练＊设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=（）A.29B.49C.39D.59(由通项公式可知，(1-3x)9的展开式中含x的奇次幂的项的符号均为“-”，即a1,a3,…,a9均小于零.∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9.因而在(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9中令x=-1，便可求出其值.即|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=［1-3(-1)］9=49.故应选B.)B名师伴你行返回目录1.运用二项式定理一定要牢记通项Tr+1=,注意(a+b)n与(b+a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者仅指，而后者是指字母外的部分.2.应能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数、常数项、有理项及系数最大、绝对值最大的项.3.要牢记二项式系数的几个性质.rrnrnbaCrnC名师伴你行返回目录4.二项式定理是一个恒等式.对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理（两个多项式恒等，则对应项系数分别相等）；二是赋值.事实上，二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解.返回目录名师伴你行名师伴你行